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2025-06-17
强化学习强化学习 Q-learning 核心更新公式 $$ \boxed{Q(s,a) \gets Q(s,a) + \alpha\left[r + \gamma\,\max_{a'}Q(s',a') - Q(s,a)\right]} $$ - $s$：当前状态 - $a$：当前动作 - $r$：执行 $a$ 后获得的即时奖励 - $s'$：执行后到达的新状态 - $\alpha\in(0,1]$：学习率，决定“这次新信息”对旧值的影响力度 - $\gamma\in[0,1)$：折扣因子，衡量对“后续奖励”的重视程度 - $\max_{a'}Q(s',a')$：新状态下可选动作的最大估值，表示“后续能拿到的最大预期回报” 一般示例环境设定状态集合：${S_1, S_2}$ 动作集合：${a_1, a_2}$ 转移与奖励：在 $S_1$ 选 $a_1$ → 获得 $r=5$，转到 $S_2$ 在 $S_1$ 选 $a_2$ → 获得 $r=0$，转到 $S_2$ 在 $S_2$ 选 $a_1$ → 获得 $r=0$，转到 $S_1$ 在 $S_2$ 选 $a_2$ → 获得 $r=1$，转到 $S_1$ 超参数：$\alpha=0.5$，$\gamma=0.9$ 初始化：所有 $Q(s,a)=0$ 在 Q-Learning 里，智能体并不是“纯随机”地走，也不是“一开始就全凭 Q 表拿最高值”——而是常用一种叫 $\epsilon$-greedy 的策略来平衡：探索（Exploration）：以概率 $\epsilon$（比如 10%）随机选一个动作，帮助智能体发现还没试过、可能更优的路径；利用（Exploitation）：以概率 $1-\epsilon$（比如 90%）选当前状态下 Q 值最高的动作，利用已有经验最大化回报。下面按序进行 3 步“试—错”更新，并在表格中展示每一步后的 $Q$ 值。步骤状态 $s$ 动作 $a$ 奖励 $r$ 到达 $s'$ $\max_{a'}Q(s',a')$ 更新后 $Q(s,a)$ 当前 Q 表初始 — — — — — — $Q(S_1,a_1)=0,;Q(S_1,a_2)=0$ $Q(S_2,a_1)=0,;Q(S_2,a_2)=0$ 1 $S_1$ $a_1$ 5 $S_2$ 0 $0+0.5,(5+0-0)=2.5$ $Q(S_1,a_1)=2.5,;Q(S_1,a_2)=0$ $Q(S_2,a_1)=0,;Q(S_2,a_2)=0$ 2 $S_2$ $a_2$ 1 $S_1$ $到达S_1状态后选择最优动作：$$\max{2.5,0}=2.5$ $0+0.5,(1+0.9\cdot2.5-0)=1.625$ $Q(S_1,a_1)=2.5,;Q(S_1,a_2)=0$ $Q(S_2,a_1)=0,;Q(S_2,a_2)=1.625$ 3 $S_1$ $a_1$ 5 $S_2$ $\max{0,1.625}=1.625$ $2.5+0.5,(5+0.9\cdot1.625-2.5)\approx4.481$ $Q(S_1,a_1)\approx4.481,;Q(S_1,a_2)=0$ $Q(S_2,a_1)=0,;Q(S_2,a_2)=1.625$ 第1步：从 $S_1$ 选 $a_1$，立即回报5，更新后 $Q(S_1,a_1)=2.5$。第2步：从 $S_2$ 选 $a_2$，回报1，加上对 $S_1$ 后续最优值的 $0.9$ 折扣，得到 $1+0.9\times2.5=3.25$，更新后 $Q(S_2,a_2)=1.625$。第3步：再一次在 $S_1$ 选 $a_1$，这次考虑了 $S_2$ 的最新估值，最终把 $Q(S_1,a_1)$ 提升到约 4.481。通过这样一步步的“试—错 + 贝尔曼更新”，Q-Learning 能不断逼近最优 $Q^*(s,a)$，从而让智能体在每个状态都学会选出长期回报最高的动作。训练结束后，表里每个状态 $s$ 下各动作的 Q 值都相对准确了，我们就可以直接读表来决策： $$ \pi(s) = \arg\max_a Q(s,a) $$ 即“在状态 $s$ 时，选 Q 值最高的动作”。状态 \ 动作 $a_1$ $a_2$ $S_1$ 4.481 0 $S_2$ 0 1.625 DQN 核心思想：用深度神经网络近似 Q 函数来取代表格，在高维输入上直接做 Q-learning，并通过经验回放（写进缓冲区 + 随机抽样训练”） + 目标网络（Target Network）两个稳定化技巧，使时序差分（TD ）学习在非线性函数逼近下仍能收敛。 TD 学习 = 用“即时奖励 + 折扣后的未来估值”作为目标，通过 TD 误差持续修正当前估计。训练过程 1. 初始化主网络（Online Network）定义一个 Q 网络 $Q(s,a;\theta)$，随机初始化参数 $\theta$。目标网络（Target Network）复制主网络参数，令 $\theta^- \leftarrow \theta$。目标网络用于计算贝尔曼目标值，短期内保持不变。经验回放缓冲区（Replay Buffer）创建一个固定容量的队列 $\mathcal{D}$，用于存储交互样本 $(s,a,r,s')$。超参数设置学习率 $\eta$ 折扣因子 $\gamma$ ε-greedy 探索率 $\epsilon$（初始值）最小训练样本数阈值 $N_{\min}$ 每次训练的小批量大小 $B$ 目标网络同步频率 $C$（梯度更新次数间隔） 2. 与环境交互并存储经验在每个时间步 $t$：动作选择 $$ a_t = \begin{cases} \text{随机动作} & \text{以概率 }\epsilon,\ \arg\max_a Q(s_t,a;\theta) & \text{以概率 }1-\epsilon. \end{cases} $$ 环境反馈执行动作 $a_t$，得到奖励 $r_t$ 和下一个状态 $s_{t+1}$。（需预先定义奖励函数）存入缓冲区将元组 $(s_t, a_t, r_t, s_{t+1})$ 存入 Replay Buffer $\mathcal{D}$。如果 $\mathcal{D}$ 已满，则丢弃最早的样本。 3. 批量随机采样并训练当缓冲区样本数 $\ge N_{\min}$ 时，每隔一次或多次环境交互，就进行一次训练更新：随机抽取小批量从 $\mathcal{D}$ 中随机采样 $B$ 条过往经验： $$ {(s_i, a_i, r_i, s'i)}{i=1}^B $$ 计算贝尔曼目标对每条样本，用目标网络 $\theta^-$ 计算： $$ y_i = r_i + \gamma \max_{a'}Q(s'_i, a'; \theta^-) $$ 算的是：当前获得的即时奖励 $r_i$，加上“到了下一个状态后，做最优动作所能拿到的最大预期回报” 预测当前 Q 值将当前状态-动作对丢给主网络 $\theta$，得到预测值： $$ \hat Q_i = Q(s_i, a_i;\theta) $$ 算的是：在当前状态 $s_i$、选了样本里那个动作 $a_i$ 时，网络现在估计的价值构造损失函数均方误差（MSE）损失： $$ L(\theta) = \frac{1}{B}\sum_{i=1}^B\bigl(y_i - \hat Q_i\bigr)^2 $$ 梯度下降更新主网络 $$ \theta \gets \theta - \eta \nabla_\theta L(\theta) $$ 4. 同步/软更新目标网络硬同步（Fixed Target）：每做 $C$ 次梯度更新，就执行 $$ \theta^- \gets \theta $$ （可选）软更新：用小步长 $\tau\ll1$ 平滑跟踪： $$ \theta^- \gets \tau \theta + (1-\tau) \theta^-. $$ 5. 重复训练直至收敛重复步骤 2-4 直至满足终止条件（如最大回合数或性能指标）。训练过程中可逐步衰减 $\epsilon$（ε-greedy），从更多探索过渡到更多利用。示例假设设定动作空间：两个动作 ${a_1,a_2}$。状态向量维度：2 维，记作 $s=(s_1,s_2)$。目标网络结构（极简线性网络）： $$ Q(s;\theta^-) = W^-s + b^-, $$ $W^-$ 是 $2\times2$ 的权重矩阵（行数为动作数，列数为状态向量维数） $b^-$ 是长度 2 的偏置向量网络参数（假定已初始化并被冻结）： $$ W^- = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.2\ 0.1 & ;0.3 \end{pmatrix},\quad b^- = \begin{pmatrix}0.1\-0.1\end{pmatrix}. $$ 折扣因子 $\gamma=0.9$。样本数据假设我们抽到的一条经验是 $$ (s_i,a_i,r_i,s'_i) = \bigl((0.0,\;1.0),\;a_1,\;2,\;(1.5,\,-0.5)\bigr). $$ 当前状态 $s_i=(0.0,1.0)$，当时选了动作 $a_1$ 并得到奖励 $r_i=2$。到达新状态 $s'_i=(1.5,-0.5)$。计算过程前向计算目标网络输出 $$ Q(s'_i;\theta^-) = W^-,s'_i + b^- \begin{pmatrix} 0.5 & -0.2\ 0.1 & ;0.3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1.5\-0.5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0.1\-0.1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.5\cdot1.5 + (-0.2)\cdot(-0.5) + 0.1 \[4pt] 0.1\cdot1.5 + ;0.3\cdot(-0.5) - 0.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.75 + 0.10 + 0.1 \[3pt] 0.15 - 0.15 - 0.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0.95 \[3pt] -0.10 \end{pmatrix}. $$ 因此， $$ Q(s'_i,a_1;\theta^-)=0.95,\quad Q(s'_i,a_2;\theta^-)= -0.10. $$ 取最大值 $$ \max_{a'}Q(s'_i,a';\theta^-) = \max{0.95,,-0.10} = 0.95. $$ 计算目标 $y_i$ $$ y_i = r_i + \gamma \times 0.95 = 2 + 0.9 \times 0.95 = 2 + 0.855 = 2.855. $$ 这样，我们就得到了 DQN 中训练主网络时的"伪标签" $y_i=2.855$，后续会用它与主网络预测值 $Q(s_i,a_i;\theta)$ 计算均方误差，进而更新 $\theta$。改进DQN：一、构造 n-step Transition 维护一个长度为 n 的滑动队列每步交互（状态 → 动作 → 奖励 → 新状态）后，都向队列里添加这条"单步经验"。当队列中积累到 n 条经验时，就可以合并成一条"n-step transition"了。合并过程（一步一步累加）起始状态：取队列里第 1 条记录中的状态 $s_t$ 起始动作：取第 1 条记录中的动作 $a_t$ 累积奖励：把队列中前 n 条经验的即时奖励按折扣因子 $\gamma$ 一步步加权累加： $$ G_t^{(n)} = r_t + \gamma,r_{t+1} + \gamma^2,r_{t+2} + \cdots + \gamma^{n-1}r_{t+n-1} $$ 形成一条新样本最终你得到一条合并后的样本： $$ \bigl(s_t,;a_t,;G_t^{(n)},;s_{t+n},;\text{done}_{t+n}\bigr) $$ 然后把它存入主 Replay Buffer。接着，把滑动队列的最早一条经验丢掉，让它向前滑一格，继续接收下一步新经验。二、批量随机采样与训练随机抽取 n-step 样本训练时，不管它是来自哪一段轨迹，都从 Replay Buffer 里随机挑出一批已经合好的 n-step transition。每条样本就封装了"从 $s_t$ 出发，执行 $a_t$，经历 n 步后所累积的奖励加 bootstrap"以及到达的末状态。计算训练目标对于每条抽出的 n-step 样本 $(s_t,a_t,G_t^{(n)},s_{t+n},\text{done}_{t+n})$，如果 $\text{done}{t+n}=\text{False}$，则 $$ y = G_t^{(n)} + \gamma^n,\max{a'}Q(s_{t+n},a';\theta^-); $$ 如果 $\text{done}_{t+n}=\text{True}$，则 $$ y = G_t^{(n)}. $$ 主网络给出预测把样本中的起始状态-动作对 $(s_t,a_t)$ 丢给在线的 Q 网络，得到当前估计的 $\hat{Q}(s_t,a_t)$。更新网络用"目标值 $y$"和"预测值 $\hat{Q}$"之间的平方差，构造损失函数。对损失做梯度下降，调整在线网络参数，使得它的预测越来越贴近那条合并后的真实回报。 VDN 核心思路：将团队 Q 函数写成各智能体局部 Q 的线性和 $Q_{tot}=\sum_{i=1}^{N}\tilde{Q}_i$，在训练时用全局奖励反传梯度，在执行时各智能体独立贪婪决策。 CTDE 指 Centralized Training, Decentralized Execution —— 在训练阶段使用集中式的信息或梯度（可以看到全局状态、联合奖励、各智能体的隐藏变量等）来稳定、加速学习；而在执行阶段，每个智能体只依赖自身可获得的局部观测来独立决策。采用 CTDE 的好处：部署高效、可扩展：运行时每个体只需本地观测，无需昂贵通信和同步，适合大规模或通信受限场景。降低非平稳性：每个智能体看到的“环境”里不再包含其他正在同时更新的智能体——因为所有参数其实在同一次反向传播里被一起更新，整体策略变化保持同步；对单个智能体而言，环境动态就不会呈现出随机漂移。避免“懒惰智能体”：只要某个行动对团队回报有正贡献，它在梯度里就能拿到正向信号，不会因为某个体率先学到高收益行为而使其他个体“无所事事”。核心公式与训练方法值分解假设 $$ Q\bigl((h_1,\dots,h_d),(a_1,\dots,a_d)\bigr);\approx;\sum_{i=1}^{d},\tilde{Q}_i(h_i,a_i) $$ 其中 $h_i$ 为第 $i$ 个智能体的历史观测，$a_i$ 为其动作。每个 $\tilde{Q}_i$ 只使用局部信息；训练时通过对联合 $Q$ 的 TD 误差求梯度，再"顺着求和"回传到各 $\tilde{Q}_i$ 。这样既避免了为各智能体手工设计奖励，又天然解决了联合动作空间呈指数爆炸的问题。 Q-learning 更新 $$ Q_{t+1}(s_t,a_t);=;(1-\eta_t),Q_{t}(s_t,a_t);+;\eta_t\bigl[r_t+\gamma\max_{a}Q_{t}(s_{t+1},a)\bigr] $$ 论文沿用经典 DQN 的 Q-learning 目标，对联合 Q 值计算 TD 误差，然后按上式更新；全局奖励 $r_t$ 会在反向传播时自动分摊到各 $\tilde{Q}_i$ 。训练过程使用LSTM:让智能体在「只有局部、瞬时观测」的环境中记住并利用过去若干步的信息。 1. 初始化组件说明在线网络为每个智能体 $i=1\ldots d$ 建立局部 $Q$ 网络 $\widetilde Q_i(h^i,a^i;\theta_i)$。最后一层是值分解层：把所有 $\widetilde Q_i$ 相加得到联合 $Q=\sum_i\widetilde Q_i$ 目标网络为每个体复制参数：$\theta_i^- \leftarrow \theta_i$，用于计算贝尔曼目标。经验回放缓冲区存储元组 $(h_t, \mathbf a_t, r_t, o_{t+1}) \rightarrow \mathcal D$，其中 $\mathbf a_t=(a_t^1,\dots,a_t^d)$。超参数 Adam 学习率 $1\times10^{-4}$，折扣 $\gamma$，BPTT 截断长度 8，Eligibility trace $\lambda=0.9$ ；小批量 $B$、目标同步周期 $C$、$\varepsilon$-greedy 初始值等。网络骨架：Linear (32) → ReLU → LSTM (32) → Dueling (Value + Advantage) 头产生 $\widetilde Q_i$ 。 2. 与环境交互并存储经验局部隐藏状态更新（获得 $h_t^i$）采样观测 $o_t^i \in \mathbb R^{3\times5\times5}$（RGB × 5 × 5 视野）线性嵌入 + ReLU $x_t^i = \mathrm{ReLU}(W_o,\text{vec}(o_t^i)+b_o),; W_o!\in!\mathbb R^{32\times75}$ 递归更新 LSTM $h_t^i,c_t^i = \text{LSTM}{32}(x_t^i,;h{t-1}^i,c_{t-1}^i)$ （初始 $h_0^i,c_0^i$ 置零；执行期只用本体状态即可）动作选择（分散执行） $$ a_t^i=\begin{cases} \text{随机动作}, & \text{概率 } \varepsilon,\ \arg\max_{a}\widetilde Q_i(h_t^i,a;\theta_i), & 1-\varepsilon. \end{cases} $$ 环境反馈：执行联合动作 $\mathbf a_t$，获得单条团队奖励 $r_t$ 以及下一组局部观测 $o_{t+1}^i$。重要：此处不要直接把 $h_{t+1}^i$ 写入回放池，而是存下 $(h_t^i, a_t^i, r_t, o_{t+1}^i)$。之后在训练阶段再用同样的“Step 0” 方式，离线地把 $o_{t+1}^i\rightarrow h_{t+1}^i$。这样可避免把梯度依赖塞进经验池。写入回放池：$(h_t, \mathbf a_t, r_t, o_{t+1}) \rightarrow \mathcal D$。 3. 批量随机采样并联合训练对缓冲区达到阈值后，每次更新步骤：采样 $B$ 条长度为 $L$ 的序列。假设抽到第 $k$ 条序列的第一个索引是 $t$。依次取出连续的 $(h_{t+j}, a_{t+j}, r_{t+j}, o_{t+j+1}), j=0, \ldots, L-1$。先用存储的 $o_{t+j+1}$ 离线重放"Step 0"得到 $h_{t+j+1}$，这样序列就拥有 $(h_{t+j}, h_{t+j+1})$ 前向计算 $$ \hat Q_i^{(k)} = \widetilde Q_i(h^{i,(k)}_t,a^{i,(k)}t;\theta_i), \quad \hat Q^{(k)}=\sum{i}\hat Q_i^{(k)} . $$ 贝尔曼目标（用目标网络） $$ y^{(k)} = r^{(k)} + \gamma \sum_{i}\max_{a}\widetilde Q_i(h^{i,(k)}_{t+1},a;\theta_i^-). $$ 损失 $$ L=\frac1B\sum_{k=1}^{B}\bigl(y^{(k)}-\hat Q^{(k)}\bigr)^2 . $$ 梯度反传（自动信用分配）因为 $\hat Q=\sum_i\widetilde Q_i$，对每个 $\widetilde Q_i$ 的梯度系数恒为 1，整个团队 TD 误差直接回流到各体网络，无需个体奖励设计。参数更新：$\theta_i \leftarrow \theta_i-\eta\nabla_{\theta_i}L$。 4. 同步 / 软更新目标网络硬同步：每 $C$ 次梯度更新后执行 $\theta_i^- \leftarrow \theta_i$。软更新：可选 $\theta_i^- \leftarrow \tau\theta_i+(1-\tau)\theta_i^-$。 5. 重复直到收敛持续循环步骤 2–4，逐步衰减 $\varepsilon$。训练完成后，每个体只需本地 $\widetilde Q_i$ 就能独立决策，与中心最大化 $\sum_i\widetilde Q_i$ 等价。

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zy123 6月17日
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2025-05-05
动态图神经网络动态图神经网络如何对GAT的权重（$W$）和注意力参数（$a$）进行增量更新（邻居偶尔变化） 1. 核心思想局部更新：邻居变化的节点及其直接邻域的权重和注意力参数需要调整，其他部分冻结。梯度隔离：反向传播时，仅计算受影响节点的梯度，避免全局参数震荡。 2. 数学实现步骤 (1) 识别受影响的节点设邻居变化后的新邻接矩阵为 $\tilde{A}$，原邻接矩阵为 $A$，受影响节点集合 $\mathcal{V}_{\text{affected}}$ 包括：新增或删除边的两端节点（直接受影响）。这些节点的1-hop邻居（间接受影响，根据GAT层数决定）。 (2) 损失函数局部化仅对 $\mathcal{V}_{\text{affected}}$ 中的节点计算损失： $$ \mathcal{L}_{\text{incremental}} = \sum_{i \in \mathcal{V}_{\text{affected}}} \ell(y_i, \hat{y}_i) $$ 其中 $\ell$ 为交叉熵损失，$y_i$ 为标签，$\hat{y}_i$ 为模型输出。 (3) 梯度计算与参数更新梯度掩码：反向传播时，非受影响节点的梯度强制置零： $$ \nabla_{W,a} \mathcal{L}{\text{incremental}} = \left{ \begin{array}{ll} \nabla{W,a} \ell(y_i, \hat{y}i) & \text{if } i \in \mathcal{V}{\text{affected}} \ 0 & \text{otherwise} \end{array} \right. $$ 参数更新：使用优化器（如Adam）仅更新有梯度的参数： $$ W \leftarrow W - \eta \nabla_W \mathcal{L}{\text{incremental}}, \quad a \leftarrow a - \eta \nabla_a \mathcal{L}{\text{incremental}} $$ 其中 $\eta$ 为较小的学习率（防止过拟合）。 (4) 注意力权重的动态适应 GAT的注意力机制会自动适应新邻居： $$ \alpha_{ij} = \text{softmax}\left(\text{LeakyReLU}\left(a^T [W h_i \| W h_j]\right)\right) $$ 由于 $W$ 和 $a$ 已局部更新，新邻居 $j \in \tilde{\mathcal{N}}(i)$ 的权重 $\alpha_{ij}$ 会重新计算。 3. 适用场景低频变化：如社交网络每天新增少量边、论文引用网络月度更新。局部变化：每次变化仅影响图中少量节点（<10%）。若邻居高频变化（如秒级更新），需改用动态GNN（如TGAT）或时间序列建模。 EvolveGCN EvolveGCN-H 1. EvolveGCN-H核心思想 EvolveGCN-H 通过 GRU（门控循环单元）动态更新 GCN 每一层的权重矩阵 $W_t^{(l)}$，将权重矩阵视为 GRU 的隐藏状态，并利用当前时间步的节点嵌入（特征）作为输入来驱动演化。关键特点：输入依赖：利用节点嵌入 $H_t^{(l)}$ 指导权重更新。时序建模：通过 GRU 隐式捕捉参数演化的长期依赖。 2. 动态更新流程（以第 $l$ 层为例）输入：当前节点嵌入矩阵 $H_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{n \times d}$：上一时间步的权重矩阵 $W_{t-1}^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$：邻接矩阵 $A_t \in \mathbb{R}^{n \times n}$：输出：更新后的权重矩阵 $W_t^{(l)} \in \mathbb{R}^{d \times d'}$。下一层节点嵌入 $H_t^{(l+1)} \in \mathbb{R}^{n \times d'}$。 3. 动态更新示意图 Time Step t-1 Time Step t +-------------------+ +-------------------+ | Weight Matrix | | Weight Matrix | | W_{t-1}^{(l)} | --(GRU更新)--> | W_t^{(l)} | +-------------------+ +-------------------+ ^ ^ | | +-------------------+ +-------------------+ | Node Embeddings | | Node Embeddings | | H_t^{(l)} | --(GCN计算)--> | H_t^{(l+1)} | +-------------------+ +-------------------+ ^ ^ | | +-------------------+ +-------------------+ | 邻接矩阵 A_t | | 邻接矩阵 A_{t+1} | | (显式输入) | | (下一时间步输入) | +-------------------+ +-------------------+ $$ \begin{align*} W_t^{(l)} &

论文

zy123 5月5日
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2025-04-16
陈茂森论文陈茂森论文随机移动网络系统的稳定性马尔科夫链与网络平均度推导 1.马尔科夫链的基本概念马尔科夫链描述的是这样一种随机过程：系统在若干个可能的状态中变化，下一时刻所处状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关，这就是所谓的“无记忆性”或马尔科夫性。无记忆性意味着，对于任何 $s, t \ge 0$， $$ P(T > s+t \mid T > s) = P(T > t). $$ 假设你已经等待了 $s$ 分钟，那么再等待至少 $t$ 分钟的概率，和你一开始就等待至少 $t$ 分钟的概率完全相同。在所有概率分布里，只有指数分布 $$ P(T>t) = e^{-\lambda t} $$ 具有这种“无记忆性”特征： $$ P(T>s+t \mid T>s) = \frac{P(T>s+t)}{P(T>s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(T>t). $$ 链路状态的马尔科夫模型考虑网络中每条链路的动态行为，其状态空间为：状态0：链路断开状态1：链路连通定义概率函数： $p_1(t)$：时刻 $t$ 处于连通状态的概率 $p_0(t) = 1 - p_1(t)$：断开概率同时，我们假设链路从一个状态转移到另一个状态需要等待一段时间，这段等待时间通常服从指数分布（论文中通过 KS 检验确认）：从断开（0）到连通（1）的等待时间 $T_{01} \sim \text{Exp}(\lambda_{01})$ 从连通（1）到断开（0）的等待时间 $T_{10} \sim \text{Exp}(\lambda_{10})$ 其中，$\lambda_{01}$ 和 $\lambda_{10}$ 为转移速率，表示单位时间内事件（转移）发生的平均次数 2.推导单条链路的连通概率根据连续时间马尔科夫链的理论，我们可以写出状态转移的微分方程。对于状态1（连通状态），概率 $p_1(t)$ 的变化率由两个部分组成：当链路处于状态0时，以速率 $\lambda_{01}$ 变为状态1。这部分概率增加的速率为 $$ \lambda_{01} , p_0(t)=\lambda_{01} (1-p_1(t)). $$ 当链路处于状态1时，以速率 $\lambda_{10}$ 转换为状态0。这部分使 $p_1(t)$ 减少，其速率为 $$ \lambda_{10} , p_1(t). $$ 所以，$p_1(t)$ 的微分方程写成： $$ \frac{d p_1(t)}{dt} = \lambda_{01} \, (1-p_1(t)) - \lambda_{10} \, p_1(t). $$ 这个方程可以整理为： $$ \frac{d p_1(t)}{dt} + (\lambda_{01}+\lambda_{10}) \, p_1(t) = \lambda_{01}. $$ 这其实是一个一阶线性微分方程，其标准求解方法是求解其齐次解与非齐次解。 3. 求解微分方程整个微分方程的通解为： $$ p_1(t)= \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} + C\, e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}. $$ 利用初始条件 $p_1(0)=p_1^0$（初始时刻链路连通的概率），我们可以求出 $C$：即 $$ C = p_1^0 -\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}}. $$ 所以，链路在任意时刻 $t$ 连通的概率为： $$ p_1(t)= \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} + \left( p_1^0 -\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} \right)e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}. $$ 这就是单条链路的连通概率函数，描述了从任意初始条件出发，经过一段时间后，链路达到平衡状态的过程。 4.推导网络平均度的变化函数在一个由 $N$ 个节点构成的网络中，每个节点都与其它节点进行通信（不考虑自环），因此每个节点最多有 $N-1$ 个邻居。对于任意一对节点 $i$ 和 $j$，它们之间链路连通的概率 $p_1(t)$（假设所有链路独立且同分布）。某个节点 $i$ 在时刻 $t$ 的度 $d_i(t)$可以写作： $$ d_i(t)= \sum_{\substack{j=1 \ j\neq i}}^N p_{ij}(t), $$ 其中 $p_{ij}(t)=p_1(t)$。因此，每个节点的期望度为： $$ E[d_i(t)]=(N-1)p_1(t). $$ 网络平均度就是对所有节点的期望度取平均，由于网络中每个节点都遵循相同统计规律，所以网络平均度可表示为： $$ \bar{d}(t) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} E[d_i(t)] = \frac{N \cdot (N-1)p_1(t)}{N} = (N-1)p_1(t) $$ 将我们前面得到的 $p_1(t)$ 表达式代入，就得到网络平均度随时间变化的表达式： $$ \bar{d}(t)= (N-1)\left[ \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} + \left( p_1^0 -\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}} \right)e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}\right]. $$ 这就是网络平均度的变化函数：网络开始时每条链路的连通概率为 $p_1^0$ 这种调整过程符合指数衰减规律，即偏离平衡值的部分按 $e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}$ 衰减当 $t$ 趋向无穷大时，指数项 $e^{-(\lambda_{01}+\lambda_{10})t}$ 衰减为0，网络平均度趋向于 $(N-1)\frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}}$，这就是网络达到平衡状态后的理论平均度。特征信号参数的平稳性证明系统在平衡态下具有统计上的稳定性。从节点空间分布证明平稳性。设节点在模型区域的坐标为 $(X,Y)$，其分布概率密度函数写为 $$ f(x,y). $$ 那么节点在模型子区域 $R_1$ 中出现的概率为 $$ P_{R_1}=\int_{R_1} f(x,y) \,dx\,dy. $$ 在平衡状态下，理论上节点的位置分布 $f(x,y)$ 保持不变，即每个区域内节点出现的概率 $P_{R_1}$ 是常数，不随时间变化。证明在平衡状态下节点分布稳定。扰动后的恢复能力静止节点分布特性满足均匀分布,概率密度函数为 $g(x,y)$；运动节点的概率密度函数为 $h(x,y)$；在时刻 $t_0$ 时，网络中共有 $N$ 个节点，其中有 $s$ 个静止，故静止节点的比例为 $p=\frac{s}{N}$。节点整体的分布概率密度函数可写为 $$ f(x,y)=p\, g(x,y)+(1-p)\, h(x,y). $$ 在平衡状态下，$p$ 的理论值为一个常数，所以 $f(x,y)$ 不随时间变化，从而网络连通度稳定。接下来，考虑外界扰动的影响：假设在时刻 $t_1$ 新加入 $m$ 个符合均匀分布的节点，扰动后的总分布（$t_1$时刻后）新加入的 $m$ 个节点是静止的，其分布为 $g(x,y)$ 此时网络的总节点数 $N+m$：静止节点总数：$s+m$ 运动节点总数：$N-s$（原有运动节点数不变）因此，扰动后的分布为： $$ f(x,y,t_1) = \frac{s + m}{N + m} g(x,y) + \frac{N - s}{N + m} h(x,y) $$ $$ f(x,y,t_1) = p' \cdot g(x,y) + (1-p') \cdot h(x,y) $$ 其中 $p' = \frac{s + m}{N + m}$。近似处理（当 $N, s \gg m$ 时） $$ p' = \frac{s + m}{N + m} \approx \frac{s}{N} = p $$ 因此，扰动后的分布近似为： $$ f(x,y,t_1) \approx p \cdot g(x,y) + (1-p) \cdot h(x,y) $$ 这与初始平衡态的分布相同，说明网络在扰动后恢复了平衡态。系统稳定性分析平衡点及误差坐标论文第 2.1 节推导出，单条链路连通概率 $p_1(t)$ 满足 $$ \dot p_1(t) = -(\lambda_{01}+\lambda_{10})\,p_1(t) \;+\;\lambda_{01}. \tag{2‑18} $$ 网络有 $N$ 个节点，**平均度** $$ d(t) = (N-1)\,p_1(t). $$ 设平衡连通概率 $p_1^*$ 满足 $\dot p_1=0$，解得 **平衡点** $$ p_1^* = \frac{\lambda_{01}}{\lambda_{01}+\lambda_{10}}, \quad d^* \;=\;(N-1)\,p_1^*. $$ **定义误差（偏离平衡的量）** $$ e(t)=d(t)-d^*. $$ 其中 $$ d(t)=(N-1)\,p_1(t), \qquad d^*=(N-1)\,p_1^*. $$ 将 $d$ 和 $d^*$ 代入 $$ e(t) =d(t)-d^* =(N-1)\,p_1(t)\;-\;(N-1)\,p_1^* =(N-1)\,\bigl[p_1(t)-p_1^*\bigr]. $$ 解得 $$ p_1(t)-p_1^* \;=\;\frac{e(t)}{\,N-1\,} \quad\Longrightarrow\quad p_1(t) =\frac{e(t)}{\,N-1\,}+p_1^*. $$ **误差求导** $$ \dot e(t) = \frac{d}{dt}\bigl[(N-1)(p_1-p_1^*)\bigr] = (N-1)\,\dot p_1(t), $$ 得到 $$ \dot e =(N-1)\Bigl[-(\lambda_{01}+\lambda_{10})\Bigl(\tfrac{e}{N-1}+p_1^*\Bigr) +\lambda_{01}\Bigr].\\\dot e = -(\lambda_{01}+\lambda_{10})\,e. $$ 这就是把原来以 $p_1$ 为自变量的微分方程，转写成以 "偏离平衡量" $e$ 为自变量的形式记常数 $$ c = \lambda_{01}+\lambda_{10} >0, $$ 则误差模型就是一维线性常微分方程： $$ \dot e = -\,c\,e. $$ 构造李雅普诺夫函数对一维系统 $\dot e=-ce$（$c>0$），自然选取 $$ V(e)=e^2 $$ 作为李雅普诺夫函数，理由是： $V(e)>0$ 当且仅当 $e\neq0$；平衡点 $e=0$ 时，$V(0)=0$。计算 $V$ 的时间导数对 $V$ 关于时间求导： $$ \dot V(e) = \frac{d}{dt}\bigl(e^2\bigr) = 2\,e\,\dot e = 2\,e\,\bigl(-c\,e\bigr) = -2c\,e^2. $$ 因为 $c>0$ 且 $e^2\ge0$，所以 $$ \boxed{\dot V(e)\;=\;-2c\,e^2\;\le\;0.} $$ 当 $e\neq0$ 时，$\dot V<0$；当 $e=0$ 时，$\dot V=0$。这正是“半负定”（negative semi-definite）的定义。结论李雅普诺夫第二类定理告诉我们：若存在一个函数 $V(e)$ 在平衡点处为 0、在邻域内正定，且其导数 $\dot V(e)$ 在该邻域内为半负定，则平衡点 $e=0$（即 $d=d^*$）是稳定的。由于我们已经构造了满足上述条件的 $V(e)=e^2$，并验证了 $\dot V(e)\le0$，故平衡态 $d=d^*$ 是李雅普诺夫意义下稳定的。网络特征谱参数的估算由于邻接矩阵不能保证半正定性，因此会产生幂迭代估算过程不能收敛的问题。需构造$A^T A$ 基于奇异值分解改进幂迭代估算（集中式）输入：矩阵 $B = A^T A$，目标特征值数量 $k$，收敛阈值 $\delta$ 输出：前 $k$ 个特征值 $\lambda_1' \geq \lambda_2' \geq \dots \geq \lambda_k'$ 及对应特征向量 $u_1', u_2', \dots, u_k'$ 1. 初始化随机生成初始非零向量 $v^{(0)}$，归一化： $$ v^{(0)} \gets \frac{v^{(0)}}{|v^{(0)}|_2} $$ 设置已求得的特征值数量 $n \gets 0$，剩余矩阵 $B_{\text{res}} \gets B$ 2. 迭代求前k个特征值与特征向量 While $n < k$: 幂迭代求当前最大特征值与特征向量初始化向量 $v^{(0)}$（若 $n=0$，用随机向量；否则用与已求特征向量正交的向量） Repeat: a. 计算 $v^{(t+1)} \gets B_{\text{res}} v^{(t)}$ b. 归一化： $$ v^{(t+1)}\gets \frac{v^{(t+1)}}{|v^{(t+1)}|2} $$ c. 计算 Rayleigh 商： $$ y^{(t)} = \frac{(v^{(t)})^T B{\text{res}} v^{(t)}}{(v^{(t)})^T v^{(t)}} $$ d. Until $|y^{(t)} - y^{(t-1)}| < \delta$（收敛）记录当前特征值与特征向量： $$ \lambda_{n+1}' \gets y^{(t)}, \quad u_{n+1}' \gets v^{(t)} $$ 收缩矩阵以移除已求特征分量每次收缩操作将已求得的特征值从矩阵中“移除”，使得剩余矩阵的谱（特征值集合）中次大特征值“升级”为最大特征值。更新剩余矩阵： $$ B_{\text{res}} \gets B_{\text{res}} - \lambda_{n+1}' u_{n+1}' (u_{n+1}')^T $$ 确保 $B_{\text{res}}$ 的对称性（数值修正）增量计数 $n \gets n + 1$ 瑞利商公式目的：求对称矩阵A的最大特征值集中式： $$ y(k)= \frac{x(k)^T A x(k)}{x(k)^T x(k)} $$ 分布式一致性计算： $$ y(k) = \frac{\sum_{i=1}^N x_i(k) b_i(k)}{\sum_{i=1}^N x_i^2(k)} $$ 其中 $$ b_i(k) = \sum_j a_{ij} x_j(k) $$ 两者是等价的：考虑一个简单的2×2矩阵 $$ A = \begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 2\end{pmatrix}, \quad x = \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}. $$ 集中式计算 $$ y= \frac{x^T A x}{x^T x} = \frac{\begin{pmatrix}2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}}{2^2 + 1^2} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5} = 2.8. $$ 分布式计算各节点分别计算本地观测值节点1的计算： $$ b_1 = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 5. $$ 节点2的计算： $$ b_2 = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 4. $$ 然后通过全网共识计算 $$ y = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 4}{2^2 + 1^2} = \frac{14}{5} = 2.8. $$ 主要符号表符号类型含义存储/计算位置 $n$ 下标当前计算的奇异值序号（从0开始）全局共识 $K$ 常量需要计算的前$K$大奇异值总数预设参数 $j,k$ 下标节点编号（$j$表示当前节点）本地存储 $𝒩_j$ 集合节点$j$的邻居节点集合本地拓扑信息 $a_{jk}$ 矩阵元素邻接矩阵$A$中节点$j$与$k$的连接权值节点$j$本地存储 $v_{n,j}^{(t)}$ 向量分量第$n$个右奇异向量在节点$j$的分量（第$t$次迭代）节点$j$存储 $u_{n,j}$ 向量分量第$n$个左奇异向量在节点$j$的分量节点$j$计算存储 $\sigma_n$ 标量第$n$个奇异值全局共识存储 $\delta$ 标量收敛阈值预设参数分布式幂迭代求前$K$大奇异对 While $n < K$: 初始化：若 $n = 0$：各节点$j$随机初始化 $v_{0,j}^{(0)} \sim \mathcal{N}(0,1)$ 若 $n > 0$：分布式Gram-Schmidt正交化： $$ v_{n,j}^{(0)} \gets v_{n,j}^{(0)} - \sum_{m=0}^{n-1} \underbrace{\text{Consensus}\left(\sum_k v_{m,k} v_{n,k}^{(0)}\right)}{\text{全局内积}\langle v_m, v_n^{(0)} \rangle} v{m,j} $$ 分布式归一化： $$ v_{n,j}^{(0)} \gets \frac{v_{n,j}^{(0)}}{\sqrt{\text{Consensus}\left(\sum_k (v_{n,k}^{(0)})^2\right)}} $$ 迭代计算： Repeat： a. 第一轮通信（计算$z=Av$）： $$ z_j^{(t)} = \sum_{k \in 𝒩_j} a_{jk} v_{n,k}^{(t)} \quad \text{(邻居交换$v_{n,k}^{(t)}$)} $$ b. 第二轮通信（计算$y=A^T z$）： $$ y_j^{(t+1)} = \sum_{k \in 𝒩_j} a_{kj} z_k^{(t)} \quad \text{(邻居交换$z_k^{(t)}$)} $$ c. 隐式收缩（$n>0$时）： $$ y_j^{(t+1)} \gets y_j^{(t+1)} - \sum_{m=0}^{n-1} \sigma_m^2 v_{m,j} \cdot \underbrace{\text{Consensus}\left(\sum_k v_{m,k} y_k^{(t+1)}\right)}{\text{投影系数计算}} $$ d. 归一化： $$ v{n,j}^{(t+1)} = \frac{y_j^{(t+1)}}{\sqrt{\text{Consensus}\left(\sum_k (y_k^{(t+1)})^2\right)}} $$ e. 计算Rayleigh商： $$ \lambda^{(t)} = \text{Consensus}\left(\sum_k v_{n,k}^{(t)} y_k^{(t+1)}\right) $$ f. 终止条件： $$ \text{If } \frac{|\lambda^{(t)} - \lambda^{(t-1)}|}{|\lambda^{(t)}|} < \delta \text{ then break} $$ 保存结果： $$ \sigma_n = \sqrt{\lambda^{(\text{final})}}, \quad v_{n,j} = v_{n,j}^{(\text{final})} $$ 所有节点同步 $n \gets n + 1$ 分布式计算左奇异向量$u_{n,j}$ 对于邻接矩阵 $A \in \mathbb{R}^{N \times N}$，其奇异值分解为： $$ A = U \Sigma V^T $$ 其中： $U$ 的列向量 ${u_n}$ 是左奇异向量 $V$ 的列向量 ${v_n}$ 是右奇异向量 $\Sigma$ 是对角矩阵，元素 $\sigma_n$ 为奇异值左奇异向量的定义关系： $$ A v_n = \sigma_n u_n \quad \Rightarrow \quad u_n = \frac{1}{\sigma_n} A v_n $$ 展开为分量形式（对第 $j$ 个分量）： $$ u_{n,j} = \frac{1}{\sigma_n} \sum_{k=1}^N a_{jk} v_{n,k} $$ 输入：$\sigma_n$, $v_{n,j}$（来自幂迭代最终结果） For $n = 0$ to $K-1$：本地计算： $$ u_{n,j} = \frac{1}{\sigma_n} \sum_{k \in 𝒩_j} a_{jk} v_{n,k} \quad \text{(需邻居节点发送$v_{n,k}$)} $$ 正交归一化： For $m = 0$ to $n-1$： $$ u_{n,j} \gets u_{n,j} - \text{Consensus}\left(\sum_k u_{m,k} u_{n,k}\right) \cdot u_{m,j} $$ 归一化： $$ u_{n,j} \gets \frac{u_{n,j}}{\sqrt{\text{Consensus}\left(\sum_k u_{n,k}^2\right)}} $$ 分布式重构邻接矩阵$A$ 输入：$\sigma_n$, $u_{n,j}$, $v_{n,k}$ For 每个节点$j$并行执行：对每个邻居$k \in 𝒩_j$：请求节点$k$发送$v_{n,k}$（$n=0,...,K-1$）计算： $$ a_{jk} = \sum_{n=0}^{K-1} \sigma_n u_{n,j} v_{n,k} $$ 非邻居元素： $$ a_{jk} = 0 \quad \text{for} \quad k \notin 𝒩_j $$ 非稳态下动态特征参数的估算一致性控制策略异步更新模型节点仅在离散时刻 $t_k^i$ 接收邻居信息，更新自身状态 $x_i(t)$。各节点的状态更新时刻是独立的延时处理若检测到延时，节点选择最新收到的邻居状态替代旧值（避免使用过期数据）。一致性协议设计无时延系统 $$ \dot i = \sum{j \in N(t_k^i, i)} a_{ij}(t_k^i) \left( x_j(t_k^i) - x_i(t) \right) $$ 参数含义 $\dot _i$ 节点 $i$ 的状态变化率（导数），表示 $x_i$ 随时间的变化速度。 $x_i(t)$ 节点 $i$ 在时刻 $t$ 的本地状态值（如特征估计、传感器数据等）。 $x_j(t_k^i)$ 节点 $i$ 在 $t_k^i$ 时刻收到的邻居节点 $j$ 的状态值。 $N(t_k^i, i)$ 节点 $i$ 在 $t_k^i$ 时刻的邻居集合（可直接通信的节点）。 $a_{ij}(t_k^i)$ 权重因子，控制邻居 $j$ 对节点 $i$ 的影响权重，满足 $\sum_j a_{ij} = 1$。有时延系统 $$ \dot i = \sum{j \in N(t_k^i, i)} a_{ij}(t_k^i) \left( x_j(t_k^i - \tau_{ij}^k) - x_i(t) \right) $$ 参数含义 $\tau_{ij}^k$ 节点 $j$ 到 $i$ 在时刻 $t_k^i$ 的信息传输延时。 $t_k^i - \tau_{ij}^k$ 节点 $i$ 实际使用的邻居状态 $x_j$ 的有效时刻（扣除延时）。权重$\alpha_{ij}$ $$ \text{有有效邻居时 } a_{ij}(t) = \begin{cases} \frac{\alpha_{ij}(t_k^i)}{\sum_{s \in N(t_k^i, i)} \alpha_{is}(t_k^i)}, & \text{若 } j \in N(t_k^i, i) \ 0, & \text{若 } j \notin N(t_k^i, i) \end{cases} $$ $$ \text{无有效邻居时 } a_{ij}(t) = \begin{cases} 1, & \text{若 } j = i \ 0, & \text{若 } j \neq i \end{cases} $$ 通信拓扑定义引入 $G^0(t)$：实际成功通信的瞬时拓扑（非理想链路 $G(t)$），强调有效信息传递而非物理连通性。收敛性分析动态网络的收敛条件：在节点移动导致的异步通信和随机延时下，只要网络拓扑满足有限时间内的联合连通性（即时间窗口内信息能传递到全网），所有节点的状态 $x_i$ 最终会收敛到同一全局值。（平均代数连通度 > 0 == 动态网络拓扑的平均拉普拉斯矩阵的第二小特征值>0 ）无需时刻连通：允许瞬时断连，但长期需保证信息能通过动态链路传递。基于 UKF 的滤波估算 KF EKF UKF 线性要求严格线性弱非线性强非线性可微要求 - 必须可微不要求计算复杂度低中中适用场景线性系统平滑非线性剧烈非线性本文基于UKF：采用**确定性采样（Sigma点）**直接近似非线性分布完全规避对 f(x) 和 h(x) 的求导需求保持高斯系统假设允许函数不连续/不可微适应拓扑突变等非线性情况 UKF 具体步骤符号说明 $i$: 节点索引，$N$ 为总节点数 $x_i(k)$: 节点 $i$ 在时刻 $k$ 的状态分量 (相当于$x$) $b_i(k)$: 节点 $i$ 的本地状态估计值（相当于$Ax$） $a_{ij}$: 邻接矩阵元素（链路权重） $Q_k, R_k$: 过程噪声与观测噪声协方差 $\mathcal{X}_{i,j}$: 节点 $i$ 的第 $j$ 个 Sigma 点 $W_j^{(m)}, W_j^{(c)}$: Sigma 点权重（均值和协方差） Step 1: 分布式初始化节点状态初始化：每个节点 $i$ 随机生成初始状态分量 $x_i(0)$。本地状态估计 $b_i(0)$ 初始化为 $x_i(0)$。 Step 2: 生成 Sigma 点（确定性采样）在每个节点本地执行：计算 Sigma 点： $$ \begin{aligned} \mathcal{X}{i,0} &= \hat{b}{i,k-1} \ \mathcal{X}{i,j} &= \hat{b}{i,k-1} + \left( \sqrt{(n+\lambda) P_{i,k-1}} \right)j \quad (j=1,\dots,n) \ \mathcal{X}{i,j+n} &= \hat{b}{i,k-1} - \left( \sqrt{(n+\lambda) P{i,k-1}} \right)_j \quad (j=1,\dots,n) \end{aligned} $$ $\lambda = \alpha^2 (n + \kappa) - n$（缩放因子，$\alpha$ 控制分布范围，$\kappa$ 通常取 0） $\sqrt{(n+\lambda) P}$ 为协方差矩阵的平方根（如 Cholesky 分解）计算 Sigma 点权重： $$ \begin{aligned} W_0^{(m)} &= \frac{\lambda}{n + \lambda} \quad &\text{(中心点均值权重)} \ W_0^{(c)} &= \frac{\lambda}{n + \lambda} + (1 - \alpha^2 + \beta) \quad &\text{(中心点协方差权重)} \ W_j^{(m)} = W_j^{(c)} &= \frac{1}{2(n + \lambda)} \quad (j=1,\dots,2n) \quad &\text{(对称点权重)} \end{aligned} $$ $\beta$ 为高阶矩调节参数（高斯分布时取 2 最优） Step 3: 预测步骤（时间更新）传播 Sigma 点： $$ \mathcal{X}{i,j,k|k-1}^* = f(\mathcal{X}{i,j,k-1}) + q_k \quad (j=0,\dots,2n) $$ $f(\cdot)$ 为非线性状态转移函数 $q_k$ 为过程噪声，反映网络拓扑动态变化（如节点移动导致的链路扰动）。计算预测均值和协方差： $$ \hat{b}{i,k|k-1} = \sum{j=0}^{2n} W_j^{(m)} \mathcal{X}_{i,j,k|k-1}^* $$ $$ P_{i,k|k-1} = \sum_{j=0}^{2n} W_j^{(c)} \left( \mathcal{X}{i,j,k|k-1}^* - \hat{b}{i,k|k-1} \right) \left( \mathcal{X}{i,j,k|k-1}^* - \hat{b}{i,k|k-1} \right)^T + Q_k $$ $Q_k$ 为过程噪声协方差 Step 4: 分布式观测生成邻居状态融合：节点 $ i $ 从邻居 $ j $ 获取其本地观测值 $ b_{j,\text{local}}(k) $： $$ b_{j,\text{local}}(k) = \sum_{l=1}^N a_{jl} x_l(k) \quad \text{(节点 $ j $ 对邻居状态的加权融合)} $$ 节点 $ i $ 综合邻居信息生成自身观测： $$ b_i^H(k) = \sum_{j=1}^N a_{ji} b_{j,\text{local}}(k) + r_k $$ 注：$ r_k $ 为通信噪声，反映信息传输误差（如延时、丢包）。 Step 5: 观测更新（测量更新）观测 Sigma 点： $$ \mathcal{Z}{i,j,k|k-1} = h(\mathcal{X}{i,j,k|k-1}^*) + r_k \quad (j=0,\dots,2n) $$ $h(\cdot)$ 为非线性观测函数计算观测统计量： $$ \hat{z}{i,k|k-1} = \sum{j=0}^{2n} W_j^{(m)} \mathcal{Z}_{i,j,k|k-1} $$ $$ P_{i,zz} = \sum_{j=0}^{2n} W_j^{(c)} \left( \mathcal{Z}{i,j,k|k-1} - \hat{z}{i,k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}{i,j,k|k-1} - \hat{z}{i,k|k-1} \right)^T + R_k $$ $$ P_{i,xz} = \sum_{j=0}^{2n} W_j^{(c)} \left( \mathcal{X}{i,j,k|k-1}^* - \hat{b}{i,k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}{i,j,k|k-1} - \hat{z}{i,k|k-1} \right)^T $$ $R_k$ 为观测噪声协方差计算卡尔曼增益并更新状态： $$ K_{i,k} = P_{i,xz} P_{i,zz}^{-1} $$ $$ \hat{b}{i,k|k} = \hat{b}{i,k|k-1} + K_{i,k} \left( b_i^H(k) - \hat{z}_{i,k|k-1} \right) $$ $$ P_{i,k|k} = P_{i,k|k-1} - K_{i,k} P_{i,zz} K_{i,k}^T $$ Step 6: 全局一致性计算瑞利商计算：所有节点通过一致性协议交换 $\hat{b}{i,k|k}$，计算全局状态： $$ y(k) = \frac{\sum{i=1}^N x_i(k) \hat{b}{i,k|k}}{\sum{i=1}^N x_i^2(k)} $$ 正交化：更新本地状态分量(相当于幂迭代$x=Ax$再归一化)： $$ x_i(k+1) = \frac{\hat{b}_{i,k|k}}{|\hat{b}(k)|_2} $$ Step 7: 收敛判断若 $y(k)$ 收敛，输出 $\sigma = \sqrt{y(k)}$；否则返回 Step 2。稳态下动态特征参数的估算稳态下，网络拓扑变化趋于平稳，奇异值的理论曲线不再随时间变化（实际值因噪声围绕理论值波动）。此时采用集中式多观测值卡尔曼滤波多观测值滤波算法核心思想：利用相邻奇异值的有序性约束（$\sigma_{n-1} \leq \sigma_n \leq \sigma_{n+1}$），构造双观测值作为上下界，限制估计范围。观测值生成：对第$n$大奇异值$\sigma_n$，其观测值$y_n$由相邻奇异值线性组合： $$ y_n = C_1 \sigma_{n-1} + C_2 \sigma_{n+1} $$ 系数$C_1, C_2$：根据$\sigma_{n-1}$和$\sigma_{n+1}$的权重动态调整（如距离比例）。物理意义：将$\sigma_{n-1}$和$\sigma_{n+1}$作为$\sigma_n$的下界和上界，避免单观测值因噪声导致的估计偏离。疑问：第三章的目的是什么？先分解再重构的意义在？状态转移函数和观测函数怎么来？UKF每次预测单奇异值，如何同时预测K个呢？卡尔曼滤波观测值怎么来？是否需要拟合历史数据生成观测值？还是根据第三章分布式幂迭代求真实的特征值？

论文

zy123 4月16日
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2025-04-14
高飞论文高飞论文证明特征值序列为平稳的时间序列问题设定研究对象设 ${\lambda_1(A)t}{t\in\mathbb Z}$ 是随时间变化的随机对称矩阵 $A_t$ 的最大特征值序列（如动态网络的邻接矩阵）。目标证明 ${\lambda_1(A)_t}$ 是二阶（弱）平稳的时间序列，即 $E[\lambda_1(A)_t]=\mu_1$（与 $t$ 无关）； $\operatorname{Var}[\lambda_1(A)_t]=\sigma_1^2<\infty$（与 $t$ 无关）； $\operatorname{Cov}(\lambda_1(A)t,\lambda_1(A){t-k})=\gamma(k)$ 只依赖滞后 $k$。关键假设矩阵统计特性（引理 1） $A_t$ 为 $N\times N$ 实对称随机矩阵；元素 ${a_{ij}}{i\le j}$ 相互独立且有界：$|a{ij}|\le K$。非对角元素：$E[a_{ij}]=\mu>0,\ \operatorname{Var}(a_{ij})=\sigma^2$；对角元素：$E[a_{ii}]=v$。 $N$ 足够大时 $$ E[\lambda_1(A_t)]\approx(N-1)\mu+v+\tfrac{\sigma^2}{\mu}\equiv\mu_1,\qquad \operatorname{Var}[\lambda_1(A_t)]\approx2\sigma^2\equiv\sigma_1^2 . $$ 说明： $\sigma^2$ 这是随机矩阵 $A_t$ 的非对角线元素 $a_{ij}$ ($i \neq j$) 的方差，即 $$ \text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2. $$ 根据引理1的假设，所有非对角线元素独立同分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。 $\sigma_1^2$ 这是最大特征值 $\lambda_1(A_t)$ 的方差，即 $$ \text{Var}[\lambda_1(A_t)] \equiv \sigma_1^2. $$ 当 $N$ 足够大时，$\sigma_1^2$ 近似为 $2\sigma^2$。时间序列模型对去中心化序列 $$ \tilde z_t:=\lambda_1(A)t-\mu_1 $$ 假设其服从 AR(1) $$ \tilde z_t=\rho,\tilde z{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{WN}(0,\sigma_\varepsilon^{2}),\ \ |\rho|<1, $$ 且 $\varepsilon_t$ 与历史 ${\tilde z_{s}}_{s<t}$ 独立。证明主特征值序列平稳 (1) 均值恒定性的推导去中心化后 $E[\tilde z_t]=0$。因此 $$ E[\lambda_1(A)_t]=E[\tilde z_t]+\mu_1=\mu_1, $$ 与 $t$ 无关，满足第一条。 (2) 方差恒定 AR(1)模型定义为： $$ z_t = \rho z_{t-1} + \varepsilon_t $$ $$ \begin{aligned} z_t &= \varepsilon_t + \rho z_{t-1} \\ &= \varepsilon_t + \rho (\varepsilon_{t-1} + \rho z_{t-2}) \\ &= \varepsilon_t + \rho \varepsilon_{t-1} + \rho^2 \varepsilon_{t-2} + \cdots \\ &= \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \end{aligned} $$ $$ \text{Var}(z_t) = \text{Var}\left( \sum_{j=0}^\infty \rho^j \varepsilon_{t-j} \right)= \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j} \text{Var}(\varepsilon_{t-j}) $$ 由于$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立， $$ = \sigma_\varepsilon^2 \sum_{j=0}^\infty \rho^{2j}=\frac{\sigma_\varepsilon^2}{1-\rho^2} $$ $|\rho| < 1$ 是保证级数收敛和方差有限的充要条件。根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设： $$ \sigma_\varepsilon^2 = (1 - \rho^2) \cdot 2\sigma^2 $$ 此时： $$ \text{Var}[\tilde{z}_t] = 2\sigma^2 = \sigma_1^2 $$ (3) 协方差仅依赖滞后 $k$ 对 $k\ge0$， $$ \gamma(k):=\operatorname{Cov}(\tilde z_t,\tilde z_{t-k}) =\rho^{k}\sigma_{\tilde z}^{2}, $$ 仅含 $k$ 而与 $t$ 无关；于是 $$ \operatorname{Cov}(\lambda_1(A)_t,\lambda_1(A)_{t-k})=\gamma(k), $$ 满足第三条。 (4) 平稳性的核心条件 |ρ| < 1 是关键条件直观上：$\rho$ 越小，当前特征值对过去的依赖越弱； $\rho=\pm1$ 会让方差发散，不可能稳态。噪声独立性：$\varepsilon_t$ 为白噪声，确保新信息与历史无关。证明剩余特征值平稳（大模型说不可取）： 1. 收缩操作（Deflation）的严格定义设 $A_t$ 的谱分解为： $$ A_t = \sum_{i=1}^N \lambda_i u_i u_i^\top, $$ 其中 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_N$，且 $\{u_i\}$ 是标准正交基。第一次收缩：定义剩余矩阵 $A_{t,2} = A_t - \lambda_1 u_1 u_1^\top$，其性质为：特征值：$\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_N$（即移除 $\lambda_1$ 后剩余特征值不变）。特征向量：$u_2, \dots, u_N$ 保持不变（因 $u_1$ 与其他特征向量正交）。第 $k$ 次收缩：递归定义： $$ A_{t,k+1} = A_{t,k} - \lambda_k u_k u_k^\top, $$ 剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的特征值为 $\lambda_{k+1}, \dots, \lambda_N$。每次收缩移除当前主成分，剩余矩阵的特征值是原始矩阵中未被移除的部分。 2. 剩余特征值的统计特性目标：证明 ${\lambda_k(A_t)}_{t \in \mathbb{Z}}$ 对 $k \geq 2$ 也是弱平稳的。 (1) 均值恒定性剩余矩阵的期望：由线性性： $$ E[A_{t,k+1}] = E[A_t] - \sum_{i=1}^k E[\lambda_i u_i u_i^\top]. $$ 若 $A_t$ 的元素分布时不变，且 $\lambda_i$ 和 $u_i$ 的期望稳定（由主特征值的平稳性保证），则 $E[A_{t,k+1}]$ 与 $t$ 无关。特征值期望：对剩余矩阵 $A_{t,k+1}$，其主特征值 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的期望近似为： $$ E[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx (N-k-1)\mu + v + \frac{\sigma^2}{\mu} \equiv \mu_{k+1}, $$ 其中 $(N-k-1)\mu$ 是剩余非对角元素的贡献（假设每次收缩后非对角元素统计特性不变）。 (2) 方差恒定性剩余矩阵的方差：收缩操作通过正交投影移除 $\lambda_k u_k u_k^\top$，因此剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的元素方差仍为 $\sigma^2$（对角元素可能需调整）。由引理1的推广： $$ \text{Var}[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx 2\sigma^2 \equiv \sigma_{k+1}^2. $$ 动态模型：假设去中心化序列 $\tilde{z}{k+1,t} = \lambda{k+1}(A_t) - \mu_{k+1}$ 服从AR(1)： $$ \tilde{z}{k+1,t} = \rho{k+1} \tilde{z}{k+1,t-1} + \varepsilon{k+1,t}, \quad |\rho_{k+1}| < 1, $$ 稳态方差为： $$ \sigma_{\tilde{z}{k+1}}^2 = \frac{\sigma{\varepsilon_{k+1}}^2}{1-\rho_{k+1}^2} = \sigma_{k+1}^2. $$ (3) 协方差仅依赖滞后 $m$ 协方差函数： $$ \gamma_{k+1}(m) = \text{Cov}(\tilde{z}{k+1,t}, \tilde{z}{k+1,t-m}) = \rho_{k+1}^{|m|} \sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2. $$ 仅依赖 $m$，与 $t$ 无关。 3. 递推证明的完整性归纳基础： $k=1$ 时（主特征值），平稳性已证。归纳假设：假设 $\lambda_k(A_t)$ 的平稳性成立，即： $E[\lambda_k(A_t)] = \mu_k$（常数）， $\text{Var}[\lambda_k(A_t)] = \sigma_k^2$（有限）， $\text{Cov}(\lambda_k(A_t), \lambda_k(A_{t-m})) = \gamma_k(m)$。归纳步骤：通过收缩操作，$\lambda_{k+1}(A_t)$ 成为 $A_{t,k+1}$ 的主特征值。若 $A_{t,k+1}$ 满足与 $A_t$ 相同的统计假设（独立性、有界性、时不变性），则 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的平稳性可类比主特征值的证明。 JB-test JB-test（Jarque-Bera test）是一种用于检验样本数据是否服从正态分布的统计假设检验方法。这个检验特别适用于判断数据的偏度（skewness）和峰度（kurtosis）是否符合正态分布的特性。正态分布具有以下特性：偏度（Skewness）为 $0$，表示数据的分布是对称的。峰度（Kurtosis）为 $3$，表示数据的峰度是"中等"的。 JB-test的统计量 Jarque-Bera统计量的计算公式为： $$ JB = \frac{n}{6} \left( S^2 + \frac{(K - 3)^2}{4} \right) $$ 其中： $n$ 是样本的大小。 $S$ 是样本的偏度（skewness），衡量分布的对称性。 $K$ 是样本的峰度（kurtosis），衡量分布的尖峭程度。 JB-test的分布和检验步骤零假设（$H_0$）：数据服从正态分布。备择假设（$H_1$）：数据不服从正态分布。在进行检验时，首先计算 JB 统计量，然后将其与卡方分布进行比较： JB 统计量的分布近似于自由度为 $2$ 的卡方分布（当样本量较大时）。如果 JB 统计量的值大于临界值（根据设定的显著性水平，比如 $0.05$），则拒绝零假设，即认为数据不符合正态分布。如果 JB 统计量的值小于临界值，则无法拒绝零假设，即认为数据服从正态分布。结论如果 JB 统计量接近 $0$，说明数据的偏度和峰度与正态分布的期望非常接近，数据可能符合正态分布。如果 JB 统计量远离 $0$，则说明数据的偏度或峰度与正态分布的特征差异较大，数据不符合正态分布。特征值精度预估 1. 噪声随机变量与协方差符号含义 $w_i$ 第 $i$ 个过程噪声样本 $v_j$ 第 $j$ 个观测噪声样本 $Q$ 过程噪声的真实方差（协方差矩阵退化） $R$ 观测噪声的真实方差（协方差矩阵退化）说明：在矩阵形式的 Kalman Filter 中，通常写作 $$ w_k\sim\mathcal N(0,Q),\quad v_k\sim\mathcal N(0,R). $$ 这里为做统计检验，把 $w_i, v_j$ 当作样本，$Q,R$ 就是它们在标量情况下的方差。 2. 样本统计量符号含义 $N_w,;N_v$ 过程噪声样本数和观测噪声样本数 $\bar w$ 过程噪声样本均值 $\bar v$ 观测噪声样本均值 $s_w^2$ 过程噪声的样本方差估计 $s_v^2$ 观测噪声的样本方差估计定义： $$ \bar w = \frac1{N_w}\sum_{i=1}^{N_w}w_i,\quad s_w^2 = \frac1{N_w-1}\sum_{i=1}^{N_w}(w_i-\bar w)^2, $$ $$ \bar v = \frac1{N_v}\sum_{j=1}^{N_v}v_j,\quad s_v^2 = \frac1{N_v-1}\sum_{j=1}^{N_v}(v_j-\bar v)^2. $$ 3. 方差比的 $F$ 分布区间估计构造 $F$ 统计量 $$ F = \frac{(s_w^2/Q)}{(s_v^2/R)} = \frac{s_w^2}{s_v^2},\frac{R}{Q} \sim F(N_w-1,,N_v-1). $$ 置信区间（置信度 $1-\alpha$）查得 $$ F_{L}=F_{\alpha/2}(N_w-1,N_v-1),\quad F_{U}=F_{1-\alpha/2}(N_w-1,N_v-1), $$ 则 $$ \begin{align*} P\Big{F_{\rm L}\le F\le F_{\rm U}\Big}=1-\alpha \quad\Longrightarrow \quad P\Big{F_{\rm L},\le\frac{s_w^2}{s_v^2},\frac{R}{Q}\le F_{\rm U},\Big}=1-\alpha. \end{align*} $$ 解出 $\frac{R}{Q}$ 的区间 $$ P\Bigl{,F_{L},\frac{s_v^2}{s_w^2}\le \frac{R}{Q}\le F_{U},\frac{s_v^2}{s_w^2}\Bigr}=1-\alpha. $$ 令 $$ \theta_{\min}=\sqrt{,F_{L},\frac{s_v^2}{s_w^2},},\quad \theta_{\max}=\sqrt{,F_{U},\frac{s_v^2}{s_w^2},}. $$ 4. 卡尔曼增益与误差上界在标量情况下（即状态和观测均为1维），卡尔曼增益公式可简化为： $$ K = \frac{P_k H^T}{HP_k H^T + R} = \frac{HP_k}{H^2 P_k + R} $$ 针对我们研究对象，特征值滤波公式的系数都属于实数域。$P_{k-1}$是由上次迭代产生，因此可以$FP_{k-1}F^T$看作定值，则$P_k$的方差等于$Q$的方差，即： $$ \text{var}(P_k) = \text{var}(Q) $$ 令 $c = H$, $m = 1/H$（满足 $cm = 1$），则： $$ K = \frac{cP_k}{c^2 P_k + R} = \frac{1}{c + m(R/P_k)} \quad R/P_k\in[\theta_{\min}^2,\theta_{\max}^2]. $$ 则极值为 $$ K_{\max}=\frac{1}{c + m\,\theta_{\min}^2},\quad K_{\min}=\frac{1}{c + m\,\theta_{\max}^2}. $$ 通过历史数据计算预测误差的均值： $$ E(x_k' - x_k) \approx \frac{1}{M} \sum_{m=1}^{M} (x_k^{l(m)} - x_k^{(m)})\\ $$ 定义误差上界 $$ \xi =\bigl(K_{\max}-K_{\min}\bigr)\;E\bigl(x_k'-x_k\bigr) =\Bigl(\tfrac1{c+m\,\theta_{\min}^2}-\tfrac1{c+m\,\theta_{\max}^2}\Bigr) \,E(x_k'-x_k). $$ 若令 $c\,m=1$，可写成 $$ \xi =\frac{(\theta_{\max}-\theta_{\min})\,E(x_k'-x_k)} {(c^2+\theta_{\min})(c^2+\theta_{\max})}. $$ 量化噪声方差估计的不确定性，进而评估卡尔曼滤波器增益的可能波动，并据此给出滤波误差的上界. 基于时空特征的节点位置预测在本模型中，整个预测流程分为两大模块： GCN 模块：主要用于从当前网络拓扑中提取每个节点的空间表示**。这里的输入主要包括：邻接矩阵 $A$：反映网络中节点之间的连通关系，维度为 $N \times N$，其中 $N$ 表示节点数。(可通过第二章网络重构的方式获取) 特征矩阵 $H^{(0)}$：一般是原始节点的属性信息，如历史位置数据，其维度为 $N \times d$，其中 $d$ 是初始特征维度。 LSTM 模块：用于捕捉节点随时间变化的动态信息，对每个节点的历史运动轨迹进行序列建模，并预测未来时刻的坐标。其输入通常是经过 GCN 模块处理后，每个节点在一段时间内获得的时空融合特征序列，维度一般为 $N \times T \times d'$，其中 $T$ 表示时间步数，$d'$ 是经过 GCN 后的特征维度。 GCN 模块输入邻接矩阵 $A$：维度 $N \times N$。在实际操作中，通常先加上自环形成 $$ \hat{A} = A + I. $$ 特征矩阵 $H^{(0)}$：维度 $N \times d$，每一行对应一个节点的初始特征（例如历史采样的位置信息或其他描述）。图卷积操作常用的图卷积计算公式为： $$ H^{(l+1)} = \sigma \Bigl(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2} H^{(l)} W^{(l)} \Bigr) $$ 其中： $\tilde{A} = A + I$ 为加上自环后的邻接矩阵， $\tilde{D}$ 为 $\tilde{A}$ 的度矩阵，定义为 $\tilde{D}{ii} = \sum{j}\tilde{A}_{ij}$； $H^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的节点特征，初始时 $H^{(0)}$ 就是输入特征矩阵； $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的权重矩阵，其维度通常为 $d_l \times d_{l+1}$（例如从 $d$ 到 $d'$）； $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数，例如 ReLU 或 tanh。经过一层或多层图卷积后，可以得到最终的节点表示矩阵 $H^{(L)}$（或记为 $X$），维度为 $N \times d'$。其中：每一行 $x_i \in \mathbb{R}^{d'}$ 表示节点 $i$ 的空间特征，这些特征综合反映了其在网络拓扑中的位置及与邻居的关系。输出 GCN 输出：形状为 $N \times d'$；若将模型用于时序建模，则对于每个时间步，都可以得到这样一个节点特征表示。这里 $d'>d$ 。1.高维嵌入不仅保留了绝对位置信息，还包括了网络拓扑信息。2.兼容下游LSTM任务需求。 LSTM 模块输入数据构造在时序预测中，对于每个节点，我们通常有一段历史数据序列。假设我们采集了最近 $T$ 个时刻的数据，然后采用“滑动窗口”的方式，预测 $T+1$、 $T+2$... 对于每个时刻 $t$，节点 $i$ 的空间特征 $x_i^{(t)} \in \mathbb{R}^{d'}$ 由 GCN 得到；将这些特征按照时间顺序排列，得到一个序列： $$ X_i = \bigl[ x_i^{(t-T+1)},, x_i^{(t-T+2)},, \dots,, x_i^{(t)} \bigr] \quad \in \mathbb{R}^{T \times d'}. $$ 对于整个网络来说，可以将数据看作一个三维张量，维度为 $(N, T, d')$。 LSTM 内部运作 LSTM 通过内部门控机制（遗忘门 $f_t$、输入门 $i_t$ 和输出门 $o_t$）来更新其记忆状态 $C_t$ 和隐藏状态 $h_t$。公式如下遗忘门： $$ f_t = \sigma(W_f [h_{t-1},, x_t] + b_f) $$ 输入门和候选记忆： $$ i_t = \sigma(W_i [h_{t-1},, x_t] + b_i) \quad,\quad \tilde{C}t = \tanh(W_C [h{t-1},, x_t] + b_C) $$ 记忆更新： $$ C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t $$ 输出门和隐藏状态： $$ o_t = \sigma(W_o [h_{t-1},, x_t] + b_o), \quad h_t = o_t \odot \tanh(C_t) $$ 其中，$x_t$ 在这里对应每个节点在时刻 $t$ 的 GCN 输出特征； $[h_{t-1},, x_t]$ 为连接后的向量； LSTM 的隐藏状态 $h_i \in \mathbb{R}^{d'' \times 1}$（其中 $d''$ 为 LSTM 的隐藏单元数）捕捉了时间上的依赖信息。输出与预测最后，经过 LSTM 处理后，我们在最后一个时间步获得最终的隐藏状态 $h_t$ 或使用整个序列的输出；接着通过一个全连接层（FC层）将隐藏状态映射到最终的预测输出。全连接层转换公式： $$ \hat{y}i = W{\text{fc}} \cdot h_t + b_{\text{fc}} $$ 其中，假设预测的是二维坐标（例如 $x$ 和 $y$ 坐标），$W_{\text{fc}} \in \mathbb{R}^{2 \times d''}$，输出 $\hat{y}_i \in \mathbb{R}^2$ 表示节点 $i$ 在未来某个时刻（或下一时刻）的预测坐标。若整个网络有 $N$ 个节点，则最终预测结果的输出维度为 $N \times 2$（或 $N \times T' \times 2$，如果预测多个未来时刻）。疑问该论文可能有点问题，每个节点只能预测自身未来位置，无法获取全局位置信息。如果先LSTM后GCN可能可以！

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zy123 4月14日
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2025-03-31
KAN KAN Kolmogorov-Arnold表示定理该定理表明，任何多元连续函数都可以表示为有限个单变量函数的组合。对于任意一个定义在$[0,1]^n$上的连续多元函数： $$ f(x_1, x_2, \ldots, x_n), $$ 存在**单变量连续函数** $\phi_{q}$ 和 $\psi_{q,p}$（其中 $q = 1, 2, \ldots, 2n+1$，$p = 1, 2, \ldots, n$），使得： $$ f(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{q=1}^{2n+1} \phi_{q}\left( \sum_{p=1}^{n} \psi_{q,p}(x_p) \right). $$ 即，$f$可以表示为$2n+1$个“外层函数”$\phi_{q}$和$n \times (2n+1)$个“内层函数”$\psi_{q,p}$的组合。和MLP的联系 Kolmogorov-Arnold定理神经网络（MLP）外层函数 $\phi_q$ 的叠加输出层的加权求和（线性组合） + 激活函数内层函数 $\psi_{q,p}$ 的线性组合隐藏层的加权求和 + 非线性激活函数固定 $2n+1$ 个“隐藏单元” 隐藏层神经元数量可以自由设计，依赖于网络的深度和宽度严格的数学构造（存在性证明）通过数据驱动的学习（基于梯度下降等方法）来优化参数和MLP的差异浅层结构（一个隐藏层）的数学表达与模型设计模型数学公式模型设计 MLP $f(x) \approx \sum_{i=1}^{N} a_i \sigma(w_i \cdot x + b_i)$ 线性变换后再跟非线性激活函数(RELU) KAN $f(x) = \sum_{q=1}^{2n+1} \Phi_q \left( \sum_{p=1}^n \phi_{q,p}(x_p) \right)$ 可学习激活函数（如样条）在边上，求和操作在神经元上边上的可学习函数： $\phi_{q,p}(x_p)$（如B样条）求和操作：$\sum_{p=1}^n \phi_{q,p}(x_p)$ 深层结构的数学表达与模型设计模型数学公式模型设计 MLP $\text{MLP}(x) = (W_3 \circ \sigma_2 \circ W_2 \circ \sigma_1 \circ W_1)(x)$ 交替的线性层（$W_i$）和固定非线性激活函数（$\sigma_i$）。 KAN $\text{KAN}(x) = (\Phi_3 \circ \Phi_2 \circ \Phi_1)(x)$ 每一层都是单变量函数的组合（$\Phi_i$），每一层的激活函数都可以进行学习传统MLP的缺陷梯度消失和梯度爆炸：与其他传统的激活函数（如 Sigmoid 或 Tanh）一样，MLP 在进行反向传播时有时就会遇到梯度消失/爆炸的问题，尤其当网络层数过深时。当它非常小或为负大，网络会退化；连续乘积会使得梯度慢慢变为 0（梯度消失）或变得异常大（梯度爆炸），从而阻碍学习过程。参数效率： MLP 常使用全连接层，每层的每个神经元都与上一层的所有神经元相连。尤其是对于大规模输入来说，这不仅增加了计算和存储开销，也增加了过拟合的风险。效率不高也不够灵活。处理高维数据能力有限：MLP 没有利用数据的内在结构（例如图像中的局部空间相关性或文本数据的语义信息）。例如，在图像处理中，MLP 无法有效地利用像素之间的局部空间联系，这很典型在图像识别等任务上的性能不如卷积神经网络（CNN）。长依赖问题：虽然 MLP 理论上可以逼近任何函数，但在实际应用中，它们很难捕捉到序列中的长依赖关系（例如句子跨度很长）。这让人困惑：如何把前后序列的信息互相处理？而自注意力（如 transformer）在这类任务中表现更好。但无论CNN/RNN/transformer怎么改进，都躲不掉MLP这个基础模型根上的硬伤，即线性组合+激活函数的模式。 KAN网络主要贡献：过去的类似想法受限于原始的Kolmogorov-Arnold表示定理（两层网络，宽度为2n+12n+1），未能利用现代技术（如反向传播）进行训练。 KAN通过推广到任意宽度和深度的架构，解决了这一限制，同时通过实验验证了KAN在“AI + 科学”任务中的有效性，兼具高精度和可解释性。 B样条（B-spline）是一种通过分段多项式函数的线性组合构造的光滑曲线，其核心思想是利用局部基函数（称为B样条基函数）来表示整个曲线。形式上，一个B样条函数通常表示为基函数的线性组合： $$ S(t) = \sum_{i=0}^{n} c_i \cdot B_i(t) $$ 其中： $B_i(t)$ 是 B样条基函数（basis functions）； $c_i$ 是控制点或系数（可以来自数据、拟合、插值等）； $S(t)$ 是最终的 B样条曲线或函数。每个基函数只在某个局部区间内非零，改变一个控制点只会影响曲线的局部形状。示例：基函数定义 $B_0(t)$ - 支撑区间[0,1] $$ B_0(t) = \begin{cases} 1 - t, & 0 \leq t < 1,\\ 0, & \text{其他区间}. \end{cases} $$ $B_1(t)$ - 支撑区间[0,2] $$ B_1(t) = \begin{cases} t, & 0 \leq t < 1, \\ 2 - t, & 1 \leq t < 2, \\ 0, & \text{其他区间}. \end{cases} $$ $B_2(t)$ - 支撑区间[1,3] $$ B_2(t) = \begin{cases} t - 1, & 1 \leq t < 2, \\ 3 - t, & 2 \leq t < 3, \\ 0, & \text{其他区间}. \end{cases} $$ $B_3(t)$ - 支撑区间[2,4] $$ B_3(t) = \begin{cases} t - 2, & 2 \leq t < 3, \\ 4 - t, & 3 \leq t \leq 4, \\ 0, & \text{其他区间}. \end{cases} $$ 假设用该基函数对$f(t) = \sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$在[0,4]区间上拟合 $$ S(t) = 0 \cdot B_0(t) + 0.7071 \cdot B_1(t) + 1 \cdot B_2(t) + 0.7071 \cdot B_3(t) $$ 网络结构：左图：节点（如$x_{l,i}$）表示第$l$层第$i$个神经元的输入值边（如$\phi_{l,j,i}$）表示可学习的激活函数（权重）下一层节点的值计算： $$x_{l+1,j} = \sum_i \phi_{l,j,i}(x_{l,i})$$ 右图：

论文

zy123 3月31日
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