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多智能体随机网络结构的实时精确估算

基于扰动理论的特征向量估算方法

设原矩阵为 $A$，扰动后矩阵为 $A+\zeta C$（扰动矩阵 $\zeta C$，$\zeta$是小参数），令其第 $i$ 个特征值、特征向量分别为 $\lambda_i,x_i$ 和 $\tilde\lambda_i,\tilde x_i$。

特征向量的一阶扰动公式：

• 输出：对应第 $i$ 个特征向量修正量 $\Delta x_i$。

特征值的一阶扰动公式：

均匀：我们把 $C$ 看作“不偏向任何特定模态”的随机小扰动——换句话说，投影到任何两个方向 $(x_i,x_k)$ 上的耦合强度 $x_k^T,C,x_i\quad\text{和}\quad x_i^T,C,x_i$ 在数值量级上应当差不多，因此可以互相近似。

因此，将所有的 $x_k^T C x_i$ 替换为 $x_i^T C x_i$：

问题：

1. 当前时刻的邻接矩阵
   $$ A^{(1)}\in\mathbb R^{n\times n},\qquad A^{(1)},x_i^{(1)}=\lambda_i^{(1)},x_i^{(1)},\quad |x_i^{(1)}|=1. $$

2. 下一时刻的邻接矩阵
   $$ A^{(2)}\in\mathbb R^{n\times n}, $$ 已知它的第 $i$ 个特征值 $\lambda_i^{(2)}$（卡尔曼滤波得来）. 求当前时刻的特征向量 $x_i^{(2)}$。

下一时刻第 $i$ 个特征向量的预测为

多智能体随机网络特征值滤波建模

1. 状态转移模型

系统的特征值向量 $\lambda_k$（状态向量）随时间演化的动态方程为：

• 参数说明：
  • $\lambda_k \in \mathbb{R}^{r \times 1}$：$k$ 时刻的特征值向量，$r$ 为特征值个数。
  • $w_{k-1} \sim \mathcal{N}(0, {Q})$：过程噪声，均值为零，协方差矩阵为对角阵 $\mathbf{Q} \in \mathbb{R}^{r \times r}$（因特征值独立）。
• 简化假设：
  • 状态转移矩阵 $\mathbf{A}$ 和控制输入矩阵 $\mathbf{B}$ 为单位阵或零（无外部控制输入），故模型简化为随机游走形式。

2. 测量模型

$v_k$

观测到的特征值向量 $z_k$ 为：

• 参数说明：
  • $z_k \in \mathbb{R}^{r \times 1}$：观测向量，维度与状态向量相同。
  • $v_k \sim \mathcal{N}(0, \mathbf{R})$：测量噪声，协方差 $\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{r \times r}$ 为对角阵（噪声独立）。
• 简化假设：
  • 测量矩阵 $\mathbf{H}$ 为单位阵，即观测直接反映状态。

3. 噪声协方差矩阵的设定

• $\mathbf{Q}$ 和 $\mathbf{R}$ 为对角矩阵，对角元素由特征值方差确定： $$ \mathbf{Q} = \text{diag}(2\sigma_1^2, 2\sigma_2^2, \dots, 2\sigma_r^2), \quad \mathbf{R} = \text{diag}(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \dots, \sigma_r^2) $$ 其中 $\sigma_i^2$ 为第 $i$ 个特征值的初始方差（由引理3-1推导）。

网络结构优化

直接SNMF分解（无优化）

• 输入矩阵：原始动态网络邻接矩阵 $A$（可能稠密或高秩）
• 处理流程：
  • 直接对称非负矩阵分解：$A \approx UU^T$
  • 通过迭代调整$U$和旋转矩阵$Q$逼近目标
• 存在问题：
  • 高秩矩阵需要保留更多特征值（$\kappa$较大）
  • 非稀疏矩阵计算效率低

先优化再SNMF（论文方法）

• 优化阶段（ADMM）：
  • 目标函数：$\min_{A_{\text{opt}}} (1-\alpha)|A_{\text{opt}}|* + \alpha|A{\text{opt}}|_1$
  • 输出优化矩阵$A_{\text{opt}}$
• SNMF阶段：
  • 输入变为优化后的$A_{\text{opt}}$
  • 保持相同分解流程但效率更高

网络优化中的邻接矩阵重构问题建模与优化

可行解集合定义（公式4-4）

• $A^T = A$：确保邻接矩阵对称
• $A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P$：掩码矩阵$P$ ，原来已有的连接不变，只让优化原本没有连接的地方。（$\odot$为Hadamard积）
• $A \odot A_{\max}' = 0$：功率约束矩阵$\ A_{\max}'$ 禁止在原本无连接的节点间新增边

限制矩阵$A_{\max}'$的定义（公式4-5）

• $A_{\max, ij}$表示在最大发射功率下哪些节点对之间能连通（非零表示可连通，零表示即便满功率也连不通）
• $A_{\max}'$在“连不通”的位置上是1，其他位置是0。通过$A_{\max}'$标记禁止修改的零元素位置
• 对于所有满足 $A'{\max,ij}=1$ 的位置（即物理不可连通的节点对），必须有 $A{ij}=0$，即始终保持断开

原始优化目标（公式4-6）

• 目标：平衡低秩性（$\text{rank}(A)$）与稀疏性（$|A|_0$）
• 问题：非凸、不可导，难以直接优化

凸松弛后的目标（公式4-7）

• 核范数$|A|_*$：奇异值之和，替代$\text{rank}(A)$
• L1范数$|A|_1$：元素绝对值和，替代$|A|_0$
• 性质：凸优化问题，存在全局最优解

求解方法

• 传统方法： 可转化为**半定规划（SDP）**问题，使用内点法等求解器。但缺点是计算效率低，尤其当矩阵规模大（如多智能体网络节点数 $n$ 很大）时不可行。
• 改进方法： 采用ADMM（交替方向乘子法）结合投影和对偶上升的方法，适用于动态网络（矩阵频繁变化的情况）。

ADMM核心算法

变量定义与作用

• 输入变量：
  • $A_{pre}$：初始邻接矩阵（优化前的网络拓扑）。
  • $P$：对称的0-1矩阵，用于标记 $A_{pre}$ 中非零元素的位置（保持已有边不变）。
  • $A'{max}$：功率最大时的邻接矩阵的补集（$A'{maxij} = 1$ 表示 $A_{maxij} = 0$，即不允许新增边）。
  • $\alpha$：权衡稀疏性（$L_1$ 范数）和低秩性（核范数）的系数。
  • iters：ADMM迭代次数。

算法步骤详解

(S.1) 更新原始变量 $A$（对应ADMM的$x$步）

• 代码行4-17：通过内层循环（投影和对偶上升）更新 $A$。
  • 行4-11：
    • 通过内层循环（行8-11）迭代更新 $R$，本质是梯度投影法：
      • $temp_R^{k+1} = M - X^k \odot A_{\text{pre}}$（计算残差）。
      • $X^{k+1} = X^k + \beta(A_{\text{pre}} \odot temp_R^{k+1})$（梯度上升步，$\beta$ 为步长）。
    • 本质：通过迭代强制 $A$ 在 $P$ 标记的位置与 $A_{pre}$ 一致。
  • 行13-17：将 $A$ 投影到 $A \odot A'_{\text{max}} = 0$ 的集合。
    • 类似地，通过内层循环（行14-17）更新 $Y$：
      • $temp_A^{k+1} = D_2 - Y^k \odot A'_{\text{max}}$（残差计算）。
      • $Y^{k+1} = Y^k + \gamma(A'_{\text{max}} \odot temp_A^{k+1})$（对偶变量更新）。

(S.2) 更新辅助变量 $Z_1, Z_2$（对应ADMM的$z$步）

通过阈值操作分离目标函数的两部分：

• 行18-19：分别对核范数和 $L_1$ 范数进行阈值操作：
  • $Z_1^{t+1} = T_r(A^{t+1} + U_1^t)$：
    $T_r(\cdot)$ 是奇异值阈值算子（核范数投影），对$A + U1$ 做SVD分解，保留前 $r$ 个奇异值。作用：把自己变成低秩矩阵=》强制 $A$ 低秩。
  • $Z_2^{t+1} = S_{\alpha}(A^{t+1} + U_2^t)$：
    $S_{\alpha}(\cdot)$ 是软阈值算子（$L_1$ 范数投影），将小于 $\alpha$ 的元素置零。把自己变成稀疏矩阵=》促进 $A$ 的稀疏性。

(S.3) 更新 拉格朗日乘子$U_1, U_2$（对应ADMM的对偶上升）

• 行20-21：通过残差 $(A - Z)$ 调整拉格朗日乘子 $U_1, U_2$：
  • $U_1^{t+1} = U_1^t + A^{t+1} - Z_1^{t+1}$（核范数约束的乘子更新）。
  • $U_2^{t+1} = U_2^t + A^{t+1} - Z_2^{t+1}$（$L_1$ 范数约束的乘子更新）。
  • 作用：惩罚 $A$ 与辅助变量 $Z1, Z2$ 的偏差（迫使$A$更贴近$Z$），推动收敛。

网络结构控制

• 核心目标：将优化后的低秩稀疏矩阵 $A$ 转化为实际网络参数（如功率、带宽），并维持动态网络的连通性和稳定性。
• 具体实现：
  1. 通过PID控制调整发射/接收功率，使实际链路带宽匹配矩阵 $A$ 的优化值。
  2. 结合CSMA/CA协议处理多节点竞争，确保稀疏网络下的高效通信。

优化模型（4.2节）
   ↓ 生成目标带宽矩阵A
香农公式 → 计算目标Pr → 自由空间公式 → 计算目标Pt
   ↓
PID控制发射机（AGC电压） → 实际Pt ≈ 目标Pt
   ↓
PID控制接收机（AAGC/DAGC） → 实际Pr ≈ 目标Pr
   ↓
实际带宽 ≈ Aij （闭环反馈）

• 发射机：

  • 功能：将数据转换为无线信号并通过天线发射。
  • 关键参数：发射功率（$P_t$）、天线增益（$G_t$）、工作频率（决定波长$\lambda$）。
  • 控制目标：通过调整AGC电压，动态调节发射功率，以匹配优化后的带宽需求（矩阵$A$中的$A_{ij}$）。

• 接收机：

  • 功能：接收无线信号并转换为可处理的数据。
  • 关键参数：接收功率（$P_r$）、噪声（$N_0$）、天线增益（$G_r$）。
  • 控制目标：通过AAGC/DAGC增益调整，确保接收信号强度适合解调，维持链路稳定性。

具体步骤

步骤1：生成目标带宽矩阵 $A$（4.2节优化模型）

• 数学建模：

  • 通过凸松弛优化问题（公式4-7）得到低秩稀疏矩阵 $A$： $$ \min_A (1-\alpha) |A|_* + \alpha |A|_1 \quad \text{s.t.} \quad A \in \Omega $$

  • 约束集 $\Omega$ 确保矩阵对称性、保留原有链路（$A \odot P = A_{\text{pre}} \odot P$）、禁止不可达链路（$A \odot A'_{\max} = 0$）。

• 物理意义：

  • 非零元素 $A_{ij}$ 直接表示 目标信道带宽 $C_{ij}$（单位：bps），即： $$ A_{ij} = C_{ij} = W \log_2\left(1 + \frac{P_r}{N_0 W}\right) \quad \text{(香农公式4-10)} $$

步骤2：从带宽 $A_{ij}$ 反推功率参数

• 接收功率 $P_r$ 计算：

  • 根据香农公式解耦： $$ P_r = (2^{A_{ij}/W} - 1) N_0 W $$

  • 输入：噪声 $N_0$、带宽 $W$、目标带宽 $A_{ij}$。

• 发射功率 $P_t$ 计算：

  • 通过自由空间公式（4-11）： $$ P_t = \frac{P_r L (4\pi d)^2}{G_t G_r \lambda^2} $$

  • 输入：距离 $d$、天线增益 $G_t, G_r$、波长 $\lambda$、损耗 $L$。

• 逻辑分支：

  • 若 $A_{ij} \neq A_{\text{pre}ij}$（需调整链路）：
    • 计算 $P_r$ 和 $P_t$；
  • 若 $A_{ij} = 0$（无连接）：
    • 直接设 $P_r = P_t = 0$。

步骤3：发射机功率调整（图4-2a）

1. 定义目标：$P_t$（来自步骤2）。
2. 测量实际：通过传感器获取当前发射功率 $P_{t,\text{actual}}$。
3. 计算偏差：$e(t) = P_t - P_{t,\text{actual}}$。
4. PID调节：通过AGC电压改变发射功率，逼近 $P_t$。

步骤4：接收机功率调整（图4-2b）

1. 定义目标：$P_r$（来自步骤2）。
2. 测量实际：检测空口信号功率 $P_{r,\text{actual}}$。
3. 计算偏差：$e(t) = P_r - P_{r,\text{actual}}$。
4. PID调节：
   • 调整AAGC（模拟增益）和DAGC（数字增益），持续监测直至 $|e(t)| < \epsilon$。

基于谱聚类的无人机网络充电

(1) 谱聚类分组Spectral_Clustering（表5.1）

目标：将无人机和充电站划分为 $K$ 个簇，使充电站位于簇中心。
步骤：

1. 输入：带权邻接矩阵 $A$（权值=无人机间距离）、节点数 $N$、充电站数 $K$。
2. 拉普拉斯矩阵：
   $$L = D - A, \quad D_{ii} = \sum_j A_{ij}$$
3. 归一化：
   $$L_{norm} = D^{-\frac{1}{2}}LD^{\frac{1}{2}}$$
4. 谱分解：求 $L_{norm}$ 前 $K$ 小特征值对应的特征向量矩阵 $V \in \mathbb{R}^{N \times K}$。
5. 聚类：对 $V$ 的行向量进行 k-means 聚类，得到标签 $\text{labels}$。

输出：每个无人机/充电站的簇编号 $\text{labels}$。

(2) 无人机选择充电站（表5-2）

目标：电量低的无人机前往对应簇中心的充电站。
步骤：

1. 周期性运行（间隔 $\Delta t$）：
   • 通过 Push_Sum 协议获取所有无人机位置 Positions。
   • 计算距离矩阵 $A$。
2. 动态聚类：调用 Spectral_Clustering(A) 更新簇标签。
3. 充电触发：若电量 $E < P_{th}$，向簇中心请求坐标 $\text{CS_point}$ 并前往。

关键公式：

(3) 充电站跟踪算法（表5-3）

目标：充电站动态调整位置至簇中心。
步骤：

1. 周期性运行（间隔 $\Delta t$）：
   • 同无人机算法获取 $A$ 和 labels。
2. 定位簇中心：
   • 充电站根据编号匹配簇标签。
   • 计算簇内无人机位置均值：
     $$\text{CS_point} = \frac{1}{|C_k|} \sum_{i \in C_k} \text{Position}_i$$
     其中 $C_k$ 为第 $k$ 簇的节点集合。
3. 移动至新中心并广播位置。

(4) 算法改进

替换通信协议：用第3章的卡尔曼滤波 替代 Push_Sum，获取特征值、特征向量重构全局矩阵 $A$，减少消息传递。

基于T-GAT的无人机群流量预测

TCN

流量矩阵 $X \in \mathbb{R}^{N \times T}$，其中：

• $N$：无人机节点数量（例如10架无人机）。
• $T$：时间步数量。
• 每个元素 $X_{i,t}$ 表示第 $i$ 个节点在时间 $t$ 的总流量（如发送/接收的数据包数量或带宽占用）。

流量矩阵的形状

假设有3架无人机，记录5个时间步的流量数据，矩阵如下：

• 行 ($N=3$)：每行代表一架无人机的历史流量序列（例如第1行表示无人机1的流量变化：100 → 150 → 200 → 180 → 220）。
• 列 ($T=5$)：每列代表所有无人机在同一时间步的流量状态（例如第1列表示在时间 $t_1$ 时，三架无人机的流量分别为：[100, 50, 80]）。

TCN处理流量矩阵：

• 卷积操作 TCN 的每个卷积核会滑动扫描所有通道（即所有无人机）的时序数据。 例如，一个大小为 3 的卷积核会同时分析每架无人机连续 3 个时间步的流量（例如从 $t_1$ 到 $t_3$），以提取局部时序模式。
• 输出时序特征 经过多层扩张卷积和残差连接后，TCN 会输出一个高阶特征矩阵 $H_T^l$，其形状与输入类似（例如 (1, 3, 5)），但每个时间步的值已包含了：
  • 趋势信息：流量上升或下降的长期规律。

TCN的卷积核仅在单个通道内滑动，计算时仅依赖该节点自身的历史时间步。节点间的交互是通过后续的**图注意力网络（GAT）**实现的。

与 GAT 的衔接

• TCN 输出的特征矩阵 $H_T^l$ 会传递给 GAT 进行进一步处理。
• 时间步对齐：通常取最后一个时间步的特征（例如 H_T^l[:, :, -1]）作为当前节点特征。
• 空间聚合：GAT 根据邻接矩阵计算无人机间的注意力权重，例如考虑“无人机2的当前流量可能受到无人机1过去3分钟流量变化的影响”。

LSTM+GAT训练过程说明（RWP网络节点移动预测）

先LSTM后GAT侧重点在时序特征的提取；先GAT后LSTM侧重点在空间特征的提取。

1. 数据构造

输入数据：

• 节点轨迹数据：
  • 每个节点在1000个时间单位内的二维坐标 $(x, y)$，形状为 $[N, 1000, 2]$（$N$个节点，1000个时间步，2维特征）。
• 动态邻接矩阵序列：
  • 每个时间步的节点连接关系（基于距离阈值或其他规则生成），得到1000个邻接矩阵 $[A_1, A_2, \dots, A_{1000}]$，每个 $A_t$ 的形状为 $[2, \text{num_edges}_t]$（稀疏表示）。

滑动窗口处理：

• 窗口大小：12（用前12个时间步预测第13个时间步）。
• 滑动步长：1（每次滑动1个时间步，生成更多训练样本）。
• 生成样本数量：
  • 总时间步1000，窗口大小12 → 可生成 $1000 - 12 = 988$ 个样本。

样本格式：

• 输入序列 $X^{(i)}$：形状 $[N, 12, 2]$（$N$个节点，12个时间步，2维坐标）。
• 目标输出 $Y^{(i)}$：形状 $[N, 2]$（第13个时间步所有节点的坐标）。
• 动态邻接矩阵：每个样本对应12个邻接矩阵 $[A^{(i)}_1, A^{(i)}2, \dots, A^{(i)}{12}]$（每个 $A^{(i)}_t$ 形状 $[2, \text{num_edges}_t]$）。

2. 训练过程

模型结构：

1. LSTM层：

   • 输入：$[N, 12, 2]$（$N$个节点的12步历史轨迹）。
   • 输出：每个节点的时序特征 $[N, 12, H]$（$H$为LSTM隐藏层维度）。
   • 关键点：LSTM独立处理每个节点的时序，节点间无交互。

2. GAT层：

   • 输入：取LSTM最后一个时间步的输出 $[N, H]$（即每个节点的最终时序特征）。
   • 动态图输入：使用第12个时间步的邻接矩阵 $A^{(i)}_{12}$（形状 $[2, \text{num_edges}]$）。
   • 输出：通过图注意力聚合邻居信息，得到空间增强的特征 $[N, H']$（$H'$为GAT输出维度）。

3. 预测层：

   • 全连接层将 $[N, H']$ 映射到 $[N, 2]$，预测下一时刻的坐标。

训练步骤：

1. 前向传播：
   • 输入 $[N, 12, 2]$ → LSTM → $[N, 12, H]$ → 取最后时间步 $[N, H]$ → GAT → $[N, H']$ → 预测 $[N, 2]$。
2. 损失计算：
   • 均方误差（MSE）损失：比较预测坐标 $[N, 2]$ 和真实坐标 $[N, 2]$。
3. 反向传播：
   • 梯度从预测层回传到GAT和LSTM，更新所有参数。

3. 数据维度变化总结

4. 关键注意事项

1. 动态图的处理：

   • 每个滑动窗口样本需匹配对应时间步的邻接矩阵（如第 $i$ 到 $i+11$ 步的 $[A^{(i)}1, \dots, A^{(i)}{12}]$），但GAT仅使用最后一步 $A^{(i)}_{12}$。
   • 若图结构变化缓慢，可简化为所有窗口共享 $A^{(i)}_{12}$。

2. 数据划分：

   • 按时间划分训练/验证集（如前800个窗口训练，后188个验证），避免未来信息泄露。