卡尔曼滤波

卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种用于线性动态系统状态估计的递归最优滤波算法，它在噪声环境下对系统状态进行估计，并常用于目标跟踪、导航和控制等领域。

卡尔曼滤波假设系统可以用状态空间模型描述，模型包括两个部分：

状态转移模型：描述系统状态如何从上一时刻转移到当前时刻。
测量模型：描述通过传感器获得的测量值与系统状态之间的关系。

这两个模型中均包含随机噪声，分别记为过程噪声和测量噪声。卡尔曼滤波的目标就是在已知这些噪声统计特性的前提下，利用当前和过去的测量值来对系统状态进行最优估计。

引入

公式

状态转移模型

设系统的状态向量为 $\mathbf{x}_k$，控制输入为 $\mathbf{u}_k$，过程噪声为 $\mathbf{w}_k$（假设均值为0，协方差矩阵为 $\mathbf{Q}$，维度和状态向量一致），状态转移模型可写为：

$$ \mathbf{x}_k = \mathbf{A} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbf{w}_{k-1} $$

其中：

$\mathbf{A}$ 是状态转移矩阵，
$\mathbf{B}$ 是控制输入矩阵。

测量模型

设测量向量为 $\mathbf{z}_k$，测量噪声为 $\mathbf{v}_k$（假设均值为0，协方差矩阵为 $\mathbf{R}$），测量模型为：

$$ \mathbf{z}_k = \mathbf{H} \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k $$

其中：

$\mathbf{H}$ 是测量矩阵。

这里是真实状态、真实测量、过程噪声、测量噪声。在卡尔曼滤波的预测和更新阶段中，只需在每个时刻把新测得的 $z_k$ （再加上可用的控制输入 $u_{k-1}$）喂进去，滤波器就会自动递推状态估计。

递归过程

卡尔曼滤波的递归过程主要分为两大步：预测（Prediction） 和 更新（Update）。

注意：$\hat{\mathbf{x}}_k^-$右上角的'-'符号是区分预测状态和更新后的状态。

预测步骤

状态预测：

利用系统的状态转移模型，将上一次的状态估计 $\hat{\mathbf{x}}{k-1}$ 通过转移矩阵 $\mathbf{A}$（和控制输入 $\mathbf{B} \mathbf{u}{k-1}$）预测到当前时刻的状态： $$ \hat{\mathbf{x}}k^- = \mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} $$ 这里 $\hat{\mathbf{x}}_k^-$ 称为先验状态估计，它反映了系统在没有新测量数据情况下的预期状态。
协方差预测：同时，将上一次状态的不确定性（协方差矩阵 $\mathbf{P}_{k-1}$）传播到当前时刻，并加上过程噪声 $\mathbf{Q}$ 的影响： $$ \mathbf{P}k^- = \mathbf{A} \mathbf{P}{k-1} \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{Q} $$ 这个预测协方差反映了预测状态的置信程度，不确定性通常会因过程噪声的加入而增大。

更新步骤

当时刻 $k$ 新的测量值 $\mathbf{z}_k$ 到达时，我们使用它来校正预测结果。

卡尔曼增益的计算：卡尔曼增益 $\mathbf{K}_k$ 衡量了预测的不确定性与测量不确定性之间的权衡。计算公式为： $$ \mathbf{K}_k = \mathbf{P}_k^- \mathbf{H}^\mathrm{T} \left(\mathbf{H} \mathbf{P}_k^- \mathbf{H}^\mathrm{T} + \mathbf{R}\right)^{-1} $$ 当预测的置信度较低（$\mathbf{P}_k^-$较大）时，卡尔曼增益较大，说明更多地信任测量值；反之，则更多地依赖预测值。
状态更新：根据卡尔曼增益修正先验状态，将测量的偏差信息（即测量值与预测值之间的差异，也叫创新）加权融合：
$$ \hat{\mathbf{x}}_k = \hat{\mathbf{x}}_k^- + \mathbf{K}_k \left(\mathbf{z}_k - \mathbf{H} \hat{\mathbf{x}}_k^- \right) $$ 这个更新后的状态 $\hat{\mathbf{x}}_k$ 就是当前时刻的后验状态估计，它综合了预测和测量两方面的信息。
协方差更新：更新后的协方差表示在新的测量信息下的不确定性：
$$ \mathbf{P}_k = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}) \mathbf{P}_k^- $$ 一般来说，经过更新后，状态的不确定性会降低（即协方差矩阵的数值减小）。

疑问：

状态转移模型：为什么包含噪声？

状态转移模型描述的是系统状态的真实动态行为，它是一个理论模型，表示状态如何从 $\mathbf{x}_{k-1}$ 演化到 $\mathbf{x}k$。由于现实系统存在不确定性（如建模误差、外部扰动等），这些无法精确建模的部分被抽象为**过程噪声 $\mathbf{w}{k-1}$**。因此，模型写作：

$$ \mathbf{x}_k = \mathbf{A} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbf{w}_{k-1} $$ 状态预测：为什么不带噪声？

在卡尔曼滤波的预测步骤中，我们计算的是状态的期望值（即最优估计），而非真实状态本身。由于噪声 $\mathbf{w}_{k-1}$ 的均值为零，它在预测时的期望贡献为零：

$$ \mathbb{E}[\mathbf{x}_k] = \mathbf{A} \mathbb{E}[\mathbf{x}_{k-1}] + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} + \mathbb{E}[\mathbf{w}_{k-1}] = \mathbf{A} \hat{\mathbf{x}}_{k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}_{k-1} $$ 协方差预测：噪声的体现

虽然噪声的均值在状态预测中被忽略，但其随机性会导致不确定性累积。因此，协方差预测公式中显式加入了 $\mathbf{Q}$：

$$ \mathbf{P}_k^- = \mathbf{A} \mathbf{P}_{k-1} \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{Q} $$

扩展卡尔曼滤波

扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，简称 EKF）是一种针对非线性系统状态估计问题的滤波方法。传统的卡尔曼滤波要求系统的状态转移和观测模型都是线性的，而在实际问题中，很多系统往往存在非线性特性。

EKF 的核心思想就是对非线性模型进行局部线性化，然后在线性化后的模型上直接套用标准卡尔曼滤波（KF）的预测和更新公式。

非线性系统模型
假设系统的状态转移和观测模型为非线性的：
- 状态转移模型： $$ \mathbf{x}k = f(\mathbf{x}{k-1}, \mathbf{u}{k-1}) + \mathbf{w}{k-1} $$
- 观测模型： $$ \mathbf{z}_k = h(\mathbf{x}_k) + \mathbf{v}k $$ 其中，$f(\cdot)$ 和 $h(\cdot)$ 为非线性函数，$\mathbf{w}{k-1}$ 和 $\mathbf{v}_k$ 分别表示过程噪声和测量噪声（均假设为零均值高斯噪声）。
线性化
为了使用卡尔曼滤波方法，扩展卡尔曼滤波需要对非线性函数进行局部线性化。具体做法是使用泰勒展开在当前状态估计附近进行一阶近似，计算函数的雅可比矩阵：
- 状态转移函数 $f$ 的雅可比矩阵： $$ F_k = \left.\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\right|{\mathbf{x}=\hat{\mathbf{x}}{k-1}, \mathbf{u}=\mathbf{u}_{k-1}} $$
- 观测函数 $h$ 的雅可比矩阵： $$ H_k = \left.\frac{\partial h}{\partial \mathbf{x}}\right|_{\mathbf{x}=\hat{\mathbf{x}}_k^-} $$
滤波过程
扩展卡尔曼滤波的递归过程与标准卡尔曼滤波类似，但在每一步都需要用雅可比矩阵替换原来的线性模型矩阵：
- 预测步骤：
  - 状态预测： $$ \hat{\mathbf{x}}k^- = f(\hat{\mathbf{x}}{k-1}, \mathbf{u}_{k-1}) $$
  - 协方差预测： $$ \mathbf{P}k^- = F_k \mathbf{P}{k-1} F_k^\mathrm{T} + \mathbf{Q} $$ 这里 $F_k$ 是在 $\hat{\mathbf{x}}_{k-1}$ 处计算得到的雅可比矩阵。
- 更新步骤：
  - 计算卡尔曼增益： $$ \mathbf{K}_k = \mathbf{P}_k^- H_k^\mathrm{T} \left(H_k \mathbf{P}_k^- H_k^\mathrm{T} + \mathbf{R}\right)^{-1} $$
  - 状态更新： $$ \hat{\mathbf{x}}_k = \hat{\mathbf{x}}_k^- + \mathbf{K}_k \left(\mathbf{z}_k - h(\hat{\mathbf{x}}_k^-)\right) $$
  - 协方差更新： $$ \mathbf{P}_k = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k H_k) \mathbf{P}_k^- $$

通过这样的线性化步骤，EKF 能够对非线性系统进行状态估计，虽然由于线性化近似可能带来一定误差，但在大多数情况下能达到较好的效果。

雅各比矩阵定义

雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是一个多变量函数各个分量对各个变量的偏导数组成的矩阵。它反映了在某一点处函数的局部线性化近似，也就是该函数在这一点的“导数”信息。在扩展卡尔曼滤波中，为了对非线性状态转移函数 $f(\mathbf{x}, \mathbf{u})$ 或观测函数 $h(\mathbf{x})$ 进行线性化，我们需要计算它们在当前估计点的雅可比矩阵。

示例 1：状态转移函数的雅可比矩阵

假设系统的状态为 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix}$（例如，$x_1$ 表示位置，$x_2$ 表示速度），状态转移函数定义为：

$$ f(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} f_1(x_1, x_2) \\ f_2(x_1, x_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 + x_2 + 0.1 x_1^2 \\ x_2 + 0.05 x_1 \end{bmatrix} $$ 这里函数中的非线性项为 $0.1 x_1^2$ 和 $0.05 x_1$。

求雅可比矩阵

雅可比矩阵 $F$ 是一个 $2 \times 2$ 矩阵，其中每个元素为：

$$ F_{ij} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j} $$

计算各个偏导数：

对 $f_1(x_1, x_2) = x_1 + x_2 + 0.1 x_1^2$：
- $\frac{\partial f_1}{\partial x_1} = 1 + 0.2x_1$
- $\frac{\partial f_1}{\partial x_2} = 1$
对 $f_2(x_1, x_2) = x_2 + 0.05 x_1$：
- $\frac{\partial f_2}{\partial x_1} = 0.05$
- $\frac{\partial f_2}{\partial x_2} = 1$

因此，雅可比矩阵为：

$$ F = \begin{bmatrix} 1 + 0.2x_1 & 1 \\ 0.05 & 1 \end{bmatrix} $$

示例 2：观测函数的雅可比矩阵

假设观测函数为：

$$ h(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} h_1(x_1, x_2) \\ h_2(x_1, x_2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sqrt{x_1} \\ x_2 \end{bmatrix} $$ 这里假设传感器对位置进行非线性测量（取平方根），而速度直接测量。

求雅可比矩阵

计算各个偏导数：

对 $h_1(x_1, x_2) = \sqrt{x_1}$：
- $\frac{\partial h_1}{\partial x_1} = \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$
- $\frac{\partial h_1}{\partial x_2} = 0$（因为 $h_1$ 与 $x_2$ 无关）
对 $h_2(x_1, x_2) = x_2$：
- $\frac{\partial h_2}{\partial x_1} = 0$
- $\frac{\partial h_2}{\partial x_2} = 1$

因此，雅可比矩阵为：

$$ H = \begin{bmatrix} \frac{1}{2\sqrt{x_1}} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$

无迹卡尔曼(UKF)

UKF 具体步骤（分步解析）

符号	含义	维度
$ \mathbf{x} $	系统状态向量	$ n \times 1 $
$ P $	状态协方差矩阵	$ n \times n $
$ \mathbf{z} $	观测向量	$ m \times 1 $
$ f(\cdot) $	非线性状态转移函数	-
$ h(\cdot) $	非线性观测函数	-
$ Q $	过程噪声协方差	$ n \times n $
$ R $	观测噪声协方差	$ m \times m $
$ \mathcal{X} $	Sigma点集合	$ n \times (2n+1) $
$ W^{(m)} $	均值权重	$ 1 \times (2n+1) $
$ W^{(c)} $	协方差权重	$ 1 \times (2n+1) $
$ \alpha, \beta, \kappa $	UKF调参参数（控制Sigma点分布）	标量

Step 1: 生成Sigma点（确定性采样）

目的：根据当前状态均值和协方差，生成一组代表状态分布的采样点。
公式：

$$ \begin{aligned} \mathcal{X}_0 &= \hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1} \\ \mathcal{X}_i &= \hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1} + \left( \sqrt{(n+\lambda) P_{k-1|k-1}} \right)_i \quad (i=1,\dots,n) \\ \mathcal{X}_{i+n} &= \hat{\mathbf{x}}_{k-1|k-1} - \left( \sqrt{(n+\lambda) P_{k-1|k-1}} \right)_i \quad (i=1,\dots,n) \end{aligned} $$ **符号说明**：

$ \sqrt{(n+\lambda) P} $：协方差矩阵的平方根（如Cholesky分解）。
$ \left( \sqrt{(n+\lambda) P} \right)_i $ 表示平方根矩阵的第 $ i $ 列。
$ \lambda = \alpha^2 (n + \kappa) - n $：缩放因子（$ \alpha $控制分布范围，通常取1e-3；$ \kappa $通常取0）。
为什么是 $ 2n+1 $ 个点？1个中心点 + $ 2n $个对称点，覆盖状态空间的主要方向。

示例：

假设状态 $ \mathbf{x} = [x, y]^T $，$ n = 2 $，$ P = \begin{bmatrix} 4 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} $，$ \lambda = 0 $：

计算平方根矩阵（Cholesky分解）： $$ \sqrt{(n+\lambda) P} = \sqrt{2} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2.828 & 0 \ 0 & 1.414 \end{bmatrix} $$
生成 Sigma 点： $$ \begin{aligned} \mathcal{X}_0 &= \hat{\mathbf{x}} \ \mathcal{X}_1 &= \hat{\mathbf{x}} + [2.828, 0]^T = [\hat{x} + 2.828, \hat{y}] \ \mathcal{X}_2 &= \hat{\mathbf{x}} + [0, 1.414]^T = [\hat{x}, \hat{y} + 1.414] \ \mathcal{X}_3 &= \hat{\mathbf{x}} - [2.828, 0]^T = [\hat{x} - 2.828, \hat{y}] \ \mathcal{X}_4 &= \hat{\mathbf{x}} - [0, 1.414]^T = [\hat{x}, \hat{y} - 1.414] \ \end{aligned} $$

Step 2: 计算Sigma点权重

目的：为每个Sigma点分配权重，用于后续计算均值和协方差。
公式：

$$ \begin{aligned} W_0^{(m)} &= \frac{\lambda}{n + \lambda} \quad &\text{(中心点均值权重)} \\ W_0^{(c)} &= \frac{\lambda}{n + \lambda} + (1 - \alpha^2 + \beta) \quad &\text{(中心点协方差权重)} \\ W_i^{(m)} = W_i^{(c)} &= \frac{1}{2(n + \lambda)} \quad (i=1,\dots,2n) \quad &\text{(对称点权重)} \end{aligned} $$ **符号说明**：

$ \beta $：高阶矩调节参数（高斯分布时取2最优）。
权重作用：中心点通常权重较大，对称点权重均等。

Step 3: 预测步骤（时间更新）

目的：将Sigma点通过非线性状态方程传播，计算预测状态和协方差。
子步骤：

传播Sigma点： $$ \mathcal{X}{i,k|k-1}^* = f(\mathcal{X}{i,k-1}, \mathbf{u}_{k-1}), \quad i=0,1,...,2n $$ （每个Sigma点独立通过 $ f(\cdot) $ 计算）
计算预测均值和协方差： $$ \hat{\mathbf{x}}{k|k-1} = \sum{i=0}^{2n} W_i^{(m)} \mathcal{X}_{i,k|k-1}^* $$

$$ P_{k|k-1} = \sum_{i=0}^{2n} W_i^{(c)} \left( \mathcal{X}{i,k|k-1}^* - \hat{\mathbf{x}}{k|k-1} \right) \left( \mathcal{X}{i,k|k-1}^* - \hat{\mathbf{x}}{k|k-1} \right)^T + Q_k $$

符号说明：
- $\mathcal{X}_{k-1}$：上一时刻生成的Sigma点集合（$2n+1$个点）
- $\mathcal{X}_{k|k-1}^*$：通过状态方程传播后的Sigma点集合
- $ Q_k $：过程噪声（表示模型不确定性）。

Step 4: 观测更新（测量更新）

目的：将预测的Sigma点通过观测方程传播，计算卡尔曼增益并更新状态。
子步骤：

生成观测Sigma点： $$ \mathcal{Z}{i,k|k-1} = h(\mathcal{X}{i,k|k-1}^*), \quad i=0,...,2n $$
计算观测预测统计量： $$ \hat{\mathbf{z}}{k|k-1} = \sum{i=0}^{2n} W_i^{(m)} \mathcal{Z}_{i,k|k-1} $$

$$ P_{z_k z_k} = \sum_{i=0}^{2n} W_i^{(c)} \left( \mathcal{Z}{i,k|k-1} - \hat{\mathbf{z}}{k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}{i,k|k-1} - \hat{\mathbf{z}}{k|k-1} \right)^T + R_k $$

$$ P_{x_k z_k} = \sum_{i=0}^{2n} W_i^{(c)} \left( \mathcal{X}{i,k|k-1}^* - \hat{\mathbf{x}}{k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}{i,k|k-1} - \hat{\mathbf{z}}{k|k-1} \right)^T $$

符号说明：
- $ P_{z_k z_k} $：观测自协方差（含噪声 $ R_k $）。
- $ P_{x_k z_k} $：状态-观测互协方差。
计算卡尔曼增益和更新状态： $$ K_k = P_{x_k z_k} P_{z_k z_k}^{-1} $$

$$ \hat{\mathbf{x}}{k|k} = \hat{\mathbf{x}}{k|k-1} + K_k (\mathbf{z}k - \hat{\mathbf{z}}{k|k-1}) $$

$$ P_{k|k} = P_{k|k-1} - K_k P_{z_k z_k} K_k^T $$