交替方向乘子法（ADMM）

Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) 是一种用于求解大规模优化问题的高效算法，结合了拉格朗日乘子法和分裂方法的优点。

基本概念

问题分解
将原问题分解为两个子问题。假设原问题表示为：
$\min_{x, z} f(x) + g(z) \quad \text{s.t.} \quad Ax + Bz = c$
其中 $f$ 和 $g$ 是凸函数，$A$ 和 $B$ 为给定矩阵。
构造增强拉格朗日函数
引入拉格朗日乘子 $y$，构造增强拉格朗日函数：
$L_\rho(x, z, y) = f(x) + g(z) + y^T(Ax+Bz-c) + \frac{\rho}{2}|Ax+Bz-c|^2$
其中 $\rho > 0$ 控制惩罚项的权重。
交替更新
- 更新 $x$：固定 $z$ 和 $y$，求解 $\arg\min_x L_\rho(x, z, y)$。
- 更新 $z$：固定 $x$ 和 $y$，求解 $\arg\min_z L_\rho(x, z, y)$。
- 更新乘子 $y$：按梯度上升方式更新：
  $y := y + \rho(Ax + Bz - c)$
迭代求解
重复上述步骤，直到原始残差和对偶残差满足收敛条件（如 $|Ax+Bz-c| < \epsilon$）。

下面给出一个简单的数值例子，展示 ADMM 在求解分解问题时的迭代过程。我们构造如下问题：

$$ \begin{aligned} \min_{x, z}\quad & (x-1)^2 + (z-2)^2 \\ \text{s.t.}\quad & x - z = 0. \end{aligned} $$

注意：由于约束要求 $x=z$，实际问题等价于

$$ \min_{x} (x-1)^2 + (x-2)^2, $$

其解析最优解为：

$$ 2(x-1)+2(x-2)=4x-6=0\quad\Rightarrow\quad x=1.5, $$

因此我们希望得到 $x=z=1.5$。

构造 ADMM 框架

将问题写成 ADMM 标准形式：

增强拉格朗日函数为

$$ L_\rho(x,z,y)=(x-1)^2+(z-2)^2+y(x-z)+\frac{\rho}{2}(x-z)^2, $$

其中 $y$ 是拉格朗日乘子，$\rho>0$ 是惩罚参数。为简单起见，我们选取 $\rho=1$。

ADMM 的更新公式

针对本问题可以推导出三个更新步骤：

更新 $x$：

固定 $z$ 和 $y$，求解 $$ x^{k+1} = \arg\min_x; (x-1)^2 + y^k(x-z^k)+\frac{1}{2}(x-z^k)^2. $$ 对 $x$ 求导并令其为零： $$ 2(x-1) + y^k + (x-z^k)=0 \quad\Rightarrow\quad (2+1)x = 2 + z^k - y^k, $$ 得到更新公式： $$ x^{k+1} = \frac{2+z^k-y^k}{3}. $$
更新 $z$：

固定 $x$ 和 $y$，求解 $$ z^{k+1} = \arg\min_z; (z-2)^2 - y^kz+\frac{1}{2}(x^{k+1}-z)^2. $$ 注意：由于 $y(x-z)$ 中关于 $z$ 的部分为 $-y^kz$（常数项 $y^kx$ 可忽略），求导得： $$ 2(z-2) - y^k - (x^{k+1}-z)=0 \quad\Rightarrow\quad (2+1)z = 4 + y^k + x^{k+1}, $$ 得到更新公式： $$ z^{k+1} = \frac{4+y^k+x^{k+1}}{3}. $$
更新 $y$：

按梯度上升更新乘子： $$ y^{k+1} = y^k + \rho,(x^{k+1}-z^{k+1}). $$ 这里 $\rho=1$，所以 $$ y^{k+1} = y^k + \bigl(x^{k+1}-z^{k+1}\bigr). $$

数值迭代示例

第 1 次迭代：

更新 $x$：

$$ x^1 = \frac{2+z^0-y^0}{3}=\frac{2+0-0}{3}=\frac{2}{3}\approx0.667. $$
更新 $z$：

$$ z^1 = \frac{4+y^0+x^1}{3}=\frac{4+0+0.667}{3}\approx\frac{4.667}{3}\approx1.556. $$
更新 $y$：

$$ y^1 = y^0+(x^1-z^1)=0+(0.667-1.556)\approx-0.889. $$

第 2 次迭代：

更新 $x$：

$$ x^2 = \frac{2+z^1-y^1}{3}=\frac{2+1.556-(-0.889)}{3}=\frac{2+1.556+0.889}{3}\approx\frac{4.445}{3}\approx1.4817. $$
更新 $z$：

$$ z^2 = \frac{4+y^1+x^2}{3}=\frac{4+(-0.889)+1.4817}{3}=\frac{4-0.889+1.4817}{3}\approx\frac{4.5927}{3}\approx1.5309. $$
更新 $y$：

$$ y^2 = y^1+(x^2-z^2)\approx -0.889+(1.4817-1.5309)\approx -0.889-0.0492\approx -0.938. $$

第 3 次迭代：

更新 $x$：

$$ x^3 = \frac{2+z^2-y^2}{3}=\frac{2+1.5309-(-0.938)}{3}=\frac{2+1.5309+0.938}{3}\approx\frac{4.4689}{3}\approx1.4896. $$
更新 $z$：

$$ z^3 = \frac{4+y^2+x^3}{3}=\frac{4+(-0.938)+1.4896}{3}\approx\frac{4.5516}{3}\approx1.5172. $$
更新 $y$：

$$ y^3 = y^2+(x^3-z^3)\approx -0.938+(1.4896-1.5172)\approx -0.938-0.0276\approx -0.9656. $$

从迭代过程可以看出：