凸优化问题求解

凸优化

核心概念

凸函数

定义：$f(x)$ 是凸函数当且仅当

示例：$f(x)=x^2$, $f(x)=e^x$

验证 $f(x) = x^2$ 是凸函数：

代入 $f(x) = x^2$：

1. 展开左边： $$ (\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 = \theta^2 x_1^2 + 2\theta(1-\theta)x_1x_2 + (1-\theta)^2 x_2^2 $$

2. 右边： $$ \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 $$

3. 计算差值（右边减左边）： $$ \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 - \theta^2 x_1^2 - 2\theta(1-\theta)x_1x_2 - (1-\theta)^2 x_2^2 $$ 化简： $$ = \theta(1-\theta)x_1^2 + (1-\theta)\theta x_2^2 - 2\theta(1-\theta)x_1x_2 $$

   $$ = \theta(1-\theta)(x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2) $$

   $$ = \theta(1-\theta)(x_1 - x_2)^2 \geq 0 $$

4. 结论：

   • 因为 $\theta \in [0,1]$，所以 $\theta(1-\theta) \geq 0$，且 $(x_1 - x_2)^2 \geq 0$。

   • 因此，右边减左边 $\geq 0$，即： $$ (\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 \leq \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 $$

   • $f(x)=x^2$ 满足凸函数的定义。

凸集

集合中任意两点的连线仍然完全包含在该集合内。换句话说，这个集合没有“凹陷”的部分。

定义：集合$X$是凸集当且仅当

• 示例：超平面、球体

凸优化问题标准形式

交替方向乘子法（ADMM）

Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) 是一种用于求解大规模优化问题的高效算法，结合了拉格朗日乘子法和分裂方法的优点。

基本概念

• 优化问题分解
  ADMM 的核心思想是将复杂优化问题分解为多个较简单的子问题，通过引入辅助变量将原问题转化为约束优化问题，使子问题独立求解。

• 拉格朗日乘子
  利用拉格朗日乘子处理约束条件，构造增强拉格朗日函数，确保子问题求解时同时考虑原问题的约束信息。

• 交替更新
  通过交替更新子问题的解和拉格朗日乘子，逐步逼近原问题的最优解。

算法流程

1. 问题分解
   将原问题分解为两个子问题。假设原问题表示为：
   $\min_{x, z} f(x) + g(z) \quad \text{s.t.} \quad Ax + Bz = c$
   其中 $f$ 和 $g$ 是凸函数，$A$ 和 $B$ 为给定矩阵。

2. 构造增强拉格朗日函数
   引入拉格朗日乘子 $y$，构造增强拉格朗日函数：
   $L_\rho(x, z, y) = f(x) + g(z) + y^T(Ax+Bz-c) + \frac{\rho}{2}|Ax+Bz-c|^2$
   其中 $\rho > 0$ 控制惩罚项的权重。

3. 交替更新

   • 更新 $x$：固定 $z$ 和 $y$，求解 $\arg\min_x L_\rho(x, z, y)$。
   • 更新 $z$：固定 $x$ 和 $y$，求解 $\arg\min_z L_\rho(x, z, y)$。
   • 更新乘子 $y$：按梯度上升方式更新：
     $y := y + \rho(Ax + Bz - c)$

4. 迭代求解
   重复上述步骤，直到原始残差和对偶残差满足收敛条件（如 $|Ax+Bz-c| < \epsilon$）。

例子

下面给出一个简单的数值例子，展示 ADMM 在求解分解问题时的迭代过程。我们构造如下问题：

注意：由于约束要求 $x=z$，实际问题等价于

其解析最优解为：

因此我们希望得到 $x=z=1.5$。

构造 ADMM 框架

将问题写成 ADMM 标准形式：

• 令
  $$ f(x)=(x-1)^2,\quad g(z)=(z-2)^2, $$

• 约束写为
  $$ x-z=0, $$ 即令 $A=1$、$B=-1$、$c=0$。

增强拉格朗日函数为

其中 $y$ 是拉格朗日乘子，$\rho>0$ 是惩罚参数。为简单起见，我们选取 $\rho=1$。

ADMM 的更新公式

针对本问题可以推导出三个更新步骤：

$\arg\min_x; $表示在变量 $x$ 的可行范围内，找到使目标函数 $f(x)$ 最小的 $x$ 的具体值。

$k$ 代表当前的迭代次数

1. 更新 $x$：

   固定 $z$ 和 $y$，求解 $$ x^{k+1} = \arg\min_x; (x-1)^2 + y^k(x-z^k)+\frac{1}{2}(x-z^k)^2. $$ 对 $x$ 求导并令其为零： $$ 2(x-1) + y^k + (x-z^k)=0 \quad\Rightarrow\quad (2+1)x = 2 + z^k - y^k, $$ 得到更新公式： $$ x^{k+1} = \frac{2+z^k-y^k}{3}. $$

2. 更新 $z$：

   固定 $x$ 和 $y$，求解 $$ z^{k+1} = \arg\min_z; (z-2)^2 - y^kz+\frac{1}{2}(x^{k+1}-z)^2. $$ 注意：由于 $y(x-z)$ 中关于 $z$ 的部分为 $-y^kz$（常数项 $y^kx$ 可忽略），求导得： $$ 2(z-2) - y^k - (x^{k+1}-z)=0 \quad\Rightarrow\quad (2+1)z = 4 + y^k + x^{k+1}, $$ 得到更新公式： $$ z^{k+1} = \frac{4+y^k+x^{k+1}}{3}. $$

3. 更新 $y$：

   按梯度上升更新乘子： $$ y^{k+1} = y^k + \rho,(x^{k+1}-z^{k+1}). $$ 这里 $\rho=1$，所以 $$ y^{k+1} = y^k + \bigl(x^{k+1}-z^{k+1}\bigr). $$

数值迭代示例

第 1 次迭代：

• 更新 $x$：

  $$ x^1 = \frac{2+z^0-y^0}{3}=\frac{2+0-0}{3}=\frac{2}{3}\approx0.667. $$

• 更新 $z$：

  $$ z^1 = \frac{4+y^0+x^1}{3}=\frac{4+0+0.667}{3}\approx\frac{4.667}{3}\approx1.556. $$

• 更新 $y$：

  $$ y^1 = y^0+(x^1-z^1)=0+(0.667-1.556)\approx-0.889. $$

第 2 次迭代：

• 更新 $x$：

  $$ x^2 = \frac{2+z^1-y^1}{3}=\frac{2+1.556-(-0.889)}{3}=\frac{2+1.556+0.889}{3}\approx\frac{4.445}{3}\approx1.4817. $$

• 更新 $z$：

  $$ z^2 = \frac{4+y^1+x^2}{3}=\frac{4+(-0.889)+1.4817}{3}=\frac{4-0.889+1.4817}{3}\approx\frac{4.5927}{3}\approx1.5309. $$

• 更新 $y$：

  $$ y^2 = y^1+(x^2-z^2)\approx -0.889+(1.4817-1.5309)\approx -0.889-0.0492\approx -0.938. $$

第 3 次迭代：

• 更新 $x$：

  $$ x^3 = \frac{2+z^2-y^2}{3}=\frac{2+1.5309-(-0.938)}{3}=\frac{2+1.5309+0.938}{3}\approx\frac{4.4689}{3}\approx1.4896. $$

• 更新 $z$：

  $$ z^3 = \frac{4+y^2+x^3}{3}=\frac{4+(-0.938)+1.4896}{3}\approx\frac{4.5516}{3}\approx1.5172. $$

• 更新 $y$：

  $$ y^3 = y^2+(x^3-z^3)\approx -0.938+(1.4896-1.5172)\approx -0.938-0.0276\approx -0.9656. $$

从迭代过程可以看出：

• $x$ 和 $z$ 的值在不断调整，目标是使两者相等，从而满足约束。
• 最终随着迭代次数增加，$x$ 和 $z$ 会收敛到约 1.5，同时乘子 $y$ 收敛到 $-1$（这与 KKT 条件相符）。

应用领域

• 大规模优化
  在大数据、机器学习中利用并行计算加速求解。
• 信号与图像处理
  用于去噪、压缩感知等稀疏表示问题。
• 分布式计算
  在多节点协同场景下求解大规模问题。

优点与局限性

KKT 条件

KKT 条件是用于求解约束优化问题的一组必要条件，特别适用于非线性规划问题。当目标函数是非线性的，并且存在约束时，KKT 条件提供了优化问题的最优解的必要条件。

一般形式

考虑优化问题：

KKT 条件

1. 拉格朗日函数

构造拉格朗日函数：

• $\lambda_i$ 是不等式约束的拉格朗日乘子
• $\mu_j$ 是等式约束的拉格朗日乘子

2. 梯度条件（驻点条件）

3. 原始可行性条件

4. 对偶可行性条件

5. 互补松弛性条件

示例：

我们有以下优化问题：

首先，我们可以直观地理解这个问题：

• 目标函数f(x)=x²是一个开口向上的抛物线，无约束时最小值在x=0
• 约束条件x-1≤0意味着x≤1
• 所以我们需要在x≤1的范围内找f(x)的最小值

显然，无约束最小值x=0已经满足x≤1的约束，因此x=0就是最优解。但让我们看看KKT条件如何形式化地得出这个结论。

1. 构造拉格朗日函数

拉格朗日函数为：

这里λ是拉格朗日乘子，必须非负（因为是不等式约束）。

2. KKT条件

KKT条件包括：

1. 平稳性条件：∇ₓℒ = 0
2. 原始可行性：g(x) ≤ 0
3. 对偶可行性：λ ≥ 0
4. 互补松弛性：λ·g(x) = 0

平稳性条件

对x求导：

互补松弛性

这意味着有两种情况：

• 情况1：λ=0
• 情况2：x-1=0（即x=1）

情况1：λ=0

情况2：x=1

唯一满足所有KKT条件的解是x=0, λ=0。

总结

KKT 条件通过拉格朗日乘子法将约束和目标函数结合，为求解约束优化问题提供了必要的最优性条件。其核心是：

1. 拉格朗日函数的梯度为零
2. 原始约束和对偶约束的可行性
3. 互补松弛性