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证明特征值序列为平稳的时间序列

问题设定

• 研究对象
  设 ${\lambda_1(A)t}{t\in\mathbb Z}$ 是随时间变化的随机对称矩阵 $A_t$ 的最大特征值序列（如动态网络的邻接矩阵）。
• 目标
  证明 ${\lambda_1(A)_t}$ 是 二阶（弱）平稳的时间序列，即
  1. $E[\lambda_1(A)_t]=\mu_1$（与 $t$ 无关）；
  2. $\operatorname{Var}[\lambda_1(A)_t]=\sigma_1^2<\infty$（与 $t$ 无关）；
  3. $\operatorname{Cov}(\lambda_1(A)t,\lambda_1(A){t-k})=\gamma(k)$ 只依赖滞后 $k$。

关键假设

• 矩阵统计特性（引理 1）

  • $A_t$ 为 $N\times N$ 实对称随机矩阵；元素 ${a_{ij}}{i\le j}$ 相互独立且有界：$|a{ij}|\le K$。

  • 非对角元素：$E[a_{ij}]=\mu>0,\ \operatorname{Var}(a_{ij})=\sigma^2$；对角元素：$E[a_{ii}]=v$。

  • $N$ 足够大时
    $$ E[\lambda_1(A_t)]\approx(N-1)\mu+v+\tfrac{\sigma^2}{\mu}\equiv\mu_1,\qquad \operatorname{Var}[\lambda_1(A_t)]\approx2\sigma^2\equiv\sigma_1^2 . $$

说明：

• $\sigma^2$
  这是随机矩阵 $A_t$ 的非对角线元素 $a_{ij}$ ($i \neq j$) 的方差，即
  $$ \text{Var}(a_{ij}) = \sigma^2. $$ 根据引理1的假设，所有非对角线元素独立同分布，均值为 $\mu$，方差为 $\sigma^2$。

• $\sigma_1^2$
  这是最大特征值 $\lambda_1(A_t)$ 的方差，即
  $$ \text{Var}[\lambda_1(A_t)] \equiv \sigma_1^2. $$ 当 $N$ 足够大时，$\sigma_1^2$ 近似为 $2\sigma^2$。

• 时间序列模型
  对去中心化序列
  $$ \tilde z_t:=\lambda_1(A)t-\mu_1 $$ 假设其服从 AR(1)
  $$ \tilde z_t=\rho,\tilde z{t-1}+\varepsilon_t,\qquad \varepsilon_t\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\text{WN}(0,\sigma_\varepsilon^{2}),\ \ |\rho|<1, $$ 且 $\varepsilon_t$ 与历史 ${\tilde z_{s}}_{s<t}$ 独立。

证明主特征值序列平稳

(1) 均值恒定性的推导

• 去中心化后 $E[\tilde z_t]=0$。因此 $$ E[\lambda_1(A)_t]=E[\tilde z_t]+\mu_1=\mu_1, $$ 与 $t$ 无关，满足第一条。

(2) 方差恒定

AR(1)模型定义为：

由于$\text{Var}(\varepsilon_{t-j}) = \sigma_\varepsilon^2$ 对所有 $j$ 成立，

• $|\rho| < 1$ 是保证级数收敛和方差有限的充要条件。

根据引理1，$\text{Var}[\lambda_1(A_t)] \approx 2\sigma^2 = \sigma_1^2$。为使模型与理论一致，可设：

此时：

(3) 协方差仅依赖滞后 $k$

对 $k\ge0$，

(4) 平稳性的核心条件

1. |ρ| < 1 是关键条件
   • 直观上：$\rho$ 越小，当前特征值对过去的依赖越弱；
   • $\rho=\pm1$ 会让方差发散，不可能稳态。
2. 噪声独立性：$\varepsilon_t$ 为白噪声，确保新信息与历史无关。

证明剩余特征值平稳：

1. 收缩操作（Deflation）的严格定义

设 $A_t$ 的谱分解为：

• 第一次收缩：
  定义剩余矩阵 $A_{t,2} = A_t - \lambda_1 u_1 u_1^\top$，其性质为：

  • 特征值：$\lambda_2, \lambda_3, \dots, \lambda_N$（即移除 $\lambda_1$ 后剩余特征值不变）。
  • 特征向量：$u_2, \dots, u_N$ 保持不变（因 $u_1$ 与其他特征向量正交）。

• 第 $k$ 次收缩：
  递归定义： $$ A_{t,k+1} = A_{t,k} - \lambda_k u_k u_k^\top, $$ 剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的特征值为 $\lambda_{k+1}, \dots, \lambda_N$。

每次收缩移除当前主成分，剩余矩阵的特征值是原始矩阵中未被移除的部分。

2. 剩余特征值的统计特性

目标：证明 ${\lambda_k(A_t)}_{t \in \mathbb{Z}}$ 对 $k \geq 2$ 也是弱平稳的。

(1) 均值恒定性

• 剩余矩阵的期望：
  由线性性： $$ E[A_{t,k+1}] = E[A_t] - \sum_{i=1}^k E[\lambda_i u_i u_i^\top]. $$ 若 $A_t$ 的元素分布时不变，且 $\lambda_i$ 和 $u_i$ 的期望稳定（由主特征值的平稳性保证），则 $E[A_{t,k+1}]$ 与 $t$ 无关。

• 特征值期望：
  对剩余矩阵 $A_{t,k+1}$，其主特征值 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的期望近似为： $$ E[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx (N-k-1)\mu + v + \frac{\sigma^2}{\mu} \equiv \mu_{k+1}, $$ 其中 $(N-k-1)\mu$ 是剩余非对角元素的贡献（假设每次收缩后非对角元素统计特性不变）。

(2) 方差恒定性

• 剩余矩阵的方差：
  收缩操作通过正交投影移除 $\lambda_k u_k u_k^\top$，因此剩余矩阵 $A_{t,k+1}$ 的元素方差仍为 $\sigma^2$（对角元素可能需调整）。
  由引理1的推广： $$ \text{Var}[\lambda_{k+1}(A_t)] \approx 2\sigma^2 \equiv \sigma_{k+1}^2. $$

• 动态模型：
  假设去中心化序列 $\tilde{z}{k+1,t} = \lambda{k+1}(A_t) - \mu_{k+1}$ 服从AR(1)： $$ \tilde{z}{k+1,t} = \rho{k+1} \tilde{z}{k+1,t-1} + \varepsilon{k+1,t}, \quad |\rho_{k+1}| < 1, $$ 稳态方差为： $$ \sigma_{\tilde{z}{k+1}}^2 = \frac{\sigma{\varepsilon_{k+1}}^2}{1-\rho_{k+1}^2} = \sigma_{k+1}^2. $$

(3) 协方差仅依赖滞后 $m$

• 协方差函数： $$ \gamma_{k+1}(m) = \text{Cov}(\tilde{z}{k+1,t}, \tilde{z}{k+1,t-m}) = \rho_{k+1}^{|m|} \sigma_{\tilde{z}_{k+1}}^2. $$ 仅依赖 $m$，与 $t$ 无关。

3. 递推证明的完整性

1. 归纳基础：
   $k=1$ 时（主特征值），平稳性已证。

2. 归纳假设：
   假设 $\lambda_k(A_t)$ 的平稳性成立，即：

   • $E[\lambda_k(A_t)] = \mu_k$（常数），
   • $\text{Var}[\lambda_k(A_t)] = \sigma_k^2$（有限），
   • $\text{Cov}(\lambda_k(A_t), \lambda_k(A_{t-m})) = \gamma_k(m)$。

3. 归纳步骤：

   • 通过收缩操作，$\lambda_{k+1}(A_t)$ 成为 $A_{t,k+1}$ 的主特征值。
   • 若 $A_{t,k+1}$ 满足与 $A_t$ 相同的统计假设（独立性、有界性、时不变性），则 $\lambda_{k+1}(A_t)$ 的平稳性可类比主特征值的证明。

网络重构分析

假设网络中有 $n$ 个节点，则矩阵 $A(G)$ 的维度为 $n \times n$，预测得到特征值和特征向量后，可以根据矩阵谱分解理论进行逆向重构网络邻接矩阵，表示如下：

其中 $\hat{\lambda}_i$ 和 $\hat{x}_i$ 分别为通过预测得到矩阵 $A(G)$ 的第 $i$ 个特征值和对应特征向量。 然而预测值和真实值之间存在误差，直接进行矩阵重构会使得重构误差较大。 对于这个问题，文献提出一种 0/1 矩阵近似恢复算法。

文中提出网络特征值扰动与邻接矩阵扰动具有相同的规律

真实矩阵 $A(G)$ 与预测矩阵 $\hat{A}(G) $ 之间的差为

于一个归一化的特征向量 $\hat{x}_m$，其外积矩阵 $\hat{x}_m \hat{x}_m^T$ 的元素理论上满足

0-1 矩阵能够精准重构的容忍上界与网络中的节点数量成反比，网络中节点数量越多，实现精准重构的要求也就越高。

如果在高层次（特征值滤波）的误差累积超过了一定阈值，就有可能在低层次（邻接矩阵元素）中出现翻转。公式推导了只要谱参数的误差之和不超过 0.5，就可以保证0-1矩阵的精确重构。

基于时空特征的节点位置预测

在本模型中，整个预测流程分为两大模块：

• GCN 模块：主要用于从当前网络拓扑中提取每个节点的空间表示**。这里的输入主要包括：

  • 邻接矩阵 $A$：反映网络中节点之间的连通关系，维度为 $N \times N$，其中 $N$ 表示节点数。(可通过第二章网络重构的方式获取)
  • 特征矩阵 $H^{(0)}$：一般是原始节点的属性信息，如历史位置数据，其维度为 $N \times d$，其中 $d$ 是初始特征维度。

• LSTM 模块：用于捕捉节点随时间变化的动态信息，对每个节点的历史运动轨迹进行序列建模，并预测未来时刻的坐标。
  其输入通常是经过 GCN 模块处理后，每个节点在一段时间内获得的时空融合特征序列，维度一般为 $N \times T \times d'$，其中 $T$ 表示时间步数，$d'$ 是经过 GCN 后的特征维度。

GCN 模块

输入

• 邻接矩阵 $A$：维度 $N \times N$。在实际操作中，通常先加上自环形成 $$ \hat{A} = A + I. $$

• 特征矩阵 $H^{(0)}$：维度 $N \times d$，每一行对应一个节点的初始特征（例如历史采样的位置信息或其他描述）。

图卷积操作

常用的图卷积计算公式为：

• $\tilde{A} = A + I$ 为加上自环后的邻接矩阵，
• $\tilde{D}$ 为 $\tilde{A}$ 的度矩阵，定义为 $\tilde{D}{ii} = \sum{j}\tilde{A}_{ij}$；
• $H^{(l)}$ 表示第 $l$ 层的节点特征，初始时 $H^{(0)}$ 就是输入特征矩阵；
• $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的权重矩阵，其维度通常为 $d_l \times d_{l+1}$（例如从 $d$ 到 $d'$）；
• $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数，例如 ReLU 或 tanh。

经过一层或多层图卷积后，可以得到最终的节点表示矩阵 $H^{(L)}$（或记为 $X$），维度为 $N \times d'$。
其中：

• 每一行 $x_i \in \mathbb{R}^{d'}$ 表示节点 $i$ 的空间特征，这些特征综合反映了其在网络拓扑中的位置及与邻居的关系。

输出

• GCN 输出：形状为 $N \times d'$；若将模型用于时序建模，则对于每个时间步，都可以得到这样一个节点特征表示。
• 这里 $d'>d$ 。1.高维嵌入不仅保留了绝对位置信息，还包括了网络拓扑信息。2.兼容下游LSTM任务需求。

LSTM 模块

输入数据构造

在时序预测中，对于每个节点，我们通常有一段历史数据序列。假设我们采集了最近 $T$ 个时刻的数据，然后采用“滑动窗口”的方式，预测 $T+1$、 $T+2$...

• 对于每个时刻 $t$，节点 $i$ 的空间特征 $x_i^{(t)} \in \mathbb{R}^{d'}$ 由 GCN 得到；

• 将这些特征按照时间顺序排列，得到一个序列： $$ X_i = \bigl[ x_i^{(t-T+1)},, x_i^{(t-T+2)},, \dots,, x_i^{(t)} \bigr] \quad \in \mathbb{R}^{T \times d'}. $$

对于整个网络来说，可以将数据看作一个三维张量，维度为 $(N, T, d')$。

LSTM 内部运作

LSTM 通过内部门控机制（遗忘门 $f_t$、输入门 $i_t$ 和输出门 $o_t$）来更新其记忆状态 $C_t$ 和隐藏状态 $h_t$。公式如下

• 遗忘门： $$ f_t = \sigma(W_f [h_{t-1},, x_t] + b_f) $$

• 输入门和候选记忆： $$ i_t = \sigma(W_i [h_{t-1},, x_t] + b_i) \quad,\quad \tilde{C}t = \tanh(W_C [h{t-1},, x_t] + b_C) $$

• 记忆更新： $$ C_t = f_t \odot C_{t-1} + i_t \odot \tilde{C}_t $$

• 输出门和隐藏状态： $$ o_t = \sigma(W_o [h_{t-1},, x_t] + b_o), \quad h_t = o_t \odot \tanh(C_t) $$

其中，$x_t$ 在这里对应每个节点在时刻 $t$ 的 GCN 输出特征；
$[h_{t-1},, x_t]$ 为连接后的向量；

LSTM 的隐藏状态 $h_i \in \mathbb{R}^{d'' \times 1}$（其中 $d''$ 为 LSTM 的隐藏单元数）捕捉了时间上的依赖信息。

输出与预测

最后，经过 LSTM 处理后，我们在最后一个时间步获得最终的隐藏状态 $h_t$ 或使用整个序列的输出；接着通过一个全连接层（FC层）将隐藏状态映射到最终的预测输出。

• 全连接层转换公式： $$ \hat{y}i = W{\text{fc}} \cdot h_t + b_{\text{fc}} $$

其中，假设预测的是二维坐标（例如 $x$ 和 $y$ 坐标），$W_{\text{fc}} \in \mathbb{R}^{2 \times d''}$，输出 $\hat{y}_i \in \mathbb{R}^2$ 表示节点 $i$ 在未来某个时刻（或下一时刻）的预测坐标。

若整个网络有 $N$ 个节点，则最终预测结果的输出维度为 $N \times 2$（或 $N \times T' \times 2$，如果预测多个未来时刻）。

疑问

该论文可能有点问题，每个节点只能预测自身未来位置，无法获取全局位置信息。如果先LSTM后GCN可能可以！