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2025-04-01
凸优化问题求解
凸优化 核心概念 凸函数 定义：$f(x)$ 是凸函数当且仅当 $$ f(\theta x_1 + (1-\theta)x_2) \leq \theta f(x_1) + (1-\theta)f(x_2), \quad \forall x_1,x_2 \in \text{dom}(f), \theta \in [0,1] $$ 示例：$f(x)=x^2$, $f(x)=e^x$ 验证 $f(x) = x^2$ 是凸函数： 代入 $f(x) = x^2$： $$ (\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 \leq \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 $$ 展开左边： $$ (\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 = \theta^2 x_1^2 + 2\theta(1-\theta)x_1x_2 + (1-\theta)^2 x_2^2 $$ 右边： $$ \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 $$ 计算差值（右边减左边）： $$ \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 - \theta^2 x_1^2 - 2\theta(1-\theta)x_1x_2 - (1-\theta)^2 x_2^2 $$ 化简： $$ = \theta(1-\theta)x_1^2 + (1-\theta)\theta x_2^2 - 2\theta(1-\theta)x_1x_2 $$ $$ = \theta(1-\theta)(x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2) $$ $$ = \theta(1-\theta)(x_1 - x_2)^2 \geq 0 $$ 结论： 因为 $\theta \in [0,1]$，所以 $\theta(1-\theta) \geq 0$，且 $(x_1 - x_2)^2 \geq 0$。 因此，右边减左边 $\geq 0$，即： $$ (\theta x_1 + (1-\theta) x_2)^2 \leq \theta x_1^2 + (1-\theta) x_2^2 $$ $f(x)=x^2$ 满足凸函数的定义。 凸集 集合中任意两点的连线仍然完全包含在该集合内。换句话说，这个集合没有“凹陷”的部分。 定义：集合$X$是凸集当且仅当 $$ \forall x_1,x_2 \in X, \theta \in [0,1] \Rightarrow \theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in X $$ 示例：超平面、球体 凸优化问题标准形式 $$ \min_x f(x) \quad \text{s.t.} \quad \begin{cases} g_i(x) \leq 0 & (凸不等式约束) \\ h_j(x) = 0 & (线性等式约束) \\ x \in X & (凸集约束) \end{cases} $$ 交替方向乘子法（ADMM） Alternating Direction Method of Multipliers (ADMM) 是一种用于求解大规模优化问题的高效算法，结合了拉格朗日乘子法和分裂方法的优点。 基本概念 优化问题分解 ADMM 的核心思想是将复杂优化问题分解为多个较简单的子问题，通过引入辅助变量将原问题转化为约束优化问题，使子问题独立求解。 拉格朗日乘子 利用拉格朗日乘子处理约束条件，构造增强拉格朗日函数，确保子问题求解时同时考虑原问题的约束信息。 交替更新 通过交替更新子问题的解和拉格朗日乘子，逐步逼近原问题的最优解。 算法流程 问题分解 将原问题分解为两个子问题。假设原问题表示为： $\min_{x, z} f(x) + g(z) \quad \text{s.t.} \quad Ax + Bz = c$ 其中 $f$ 和 $g$ 是凸函数，$A$ 和 $B$ 为给定矩阵。 构造增强拉格朗日函数 引入拉格朗日乘子 $y$，构造增强拉格朗日函数： $L_\rho(x, z, y) = f(x) + g(z) + y^T(Ax+Bz-c) + \frac{\rho}{2}|Ax+Bz-c|^2$ 其中 $\rho > 0$ 控制惩罚项的权重。 交替更新 更新 $x$：固定 $z$ 和 $y$，求解 $\arg\min_x L_\rho(x, z, y)$。 更新 $z$：固定 $x$ 和 $y$，求解 $\arg\min_z L_\rho(x, z, y)$。 更新乘子 $y$：按梯度上升方式更新： $y := y + \rho(Ax + Bz - c)$ 迭代求解 重复上述步骤，直到原始残差和对偶残差满足收敛条件（如 $|Ax+Bz-c| < \epsilon$）。 例子 下面给出一个简单的数值例子，展示 ADMM 在求解分解问题时的迭代过程。我们构造如下问题： $$ \begin{aligned} \min_{x, z}\quad & (x-1)^2 + (z-2)^2 \\ \text{s.t.}\quad & x - z = 0. \end{aligned} $$ 注意：由于约束要求 $x=z$，实际问题等价于 $$ \min_ (x-1)^2 + (x-2)^2, $$ 其解析最优解为： $$ 2(x-1)+2(x-2)=4x-6=0\quad\Rightarrow\quad x=1.5, $$ 因此我们希望得到 $x=z=1.5$。 构造 ADMM 框架 将问题写成 ADMM 标准形式： 令 $$ f(x)=(x-1)^2,\quad g(z)=(z-2)^2, $$ 约束写为 $$ x-z=0, $$ 即令 $A=1$、$B=-1$、$c=0$。 增强拉格朗日函数为 $$ L_\rho(x,z,y)=(x-1)^2+(z-2)^2+y(x-z)+\frac{\rho}{2}(x-z)^2, $$ 其中 $y$ 是拉格朗日乘子，$\rho>0$ 是惩罚参数。为简单起见，我们选取 $\rho=1$。 ADMM 的更新公式 针对本问题可以推导出三个更新步骤： $\arg\min_x; $表示在变量 $x$ 的可行范围内，找到使目标函数 $f(x)$ 最小的 $x$ 的具体值。 $k$ 代表当前的迭代次数 更新 $x$： 固定 $z$ 和 $y$，求解 $$ x^{k+1} = \arg\min_x; (x-1)^2 + y^k(x-z^k)+\frac{1}{2}(x-z^k)^2. $$ 对 $x$ 求导并令其为零： $$ 2(x-1) + y^k + (x-z^k)=0 \quad\Rightarrow\quad (2+1)x = 2 + z^k - y^k, $$ 得到更新公式： $$ x^{k+1} = \frac{2+z^k-y^k}{3}. $$ 更新 $z$： 固定 $x$ 和 $y$，求解 $$ z^{k+1} = \arg\min_z; (z-2)^2 - y^kz+\frac{1}{2}(x^{k+1}-z)^2. $$ 注意：由于 $y(x-z)$ 中关于 $z$ 的部分为 $-y^kz$（常数项 $y^kx$ 可忽略），求导得： $$ 2(z-2) - y^k - (x^{k+1}-z)=0 \quad\Rightarrow\quad (2+1)z = 4 + y^k + x^{k+1}, $$ 得到更新公式： $$ z^{k+1} = \frac{4+y^k+x^{k+1}}{3}. $$ 更新 $y$： 按梯度上升更新乘子： $$ y^{k+1} = y^k + \rho,(x^{k+1}-z^{k+1}). $$ 这里 $\rho=1$，所以 $$ y^{k+1} = y^k + \bigl(x^{k+1}-z^{k+1}\bigr). $$ 数值迭代示例 第 1 次迭代： 更新 $x$： $$ x^1 = \frac{2+z^0-y^0}{3}=\frac{2+0-0}{3}=\frac{2}{3}\approx0.667. $$ 更新 $z$： $$ z^1 = \frac{4+y^0+x^1}{3}=\frac{4+0+0.667}{3}\approx\frac{4.667}{3}\approx1.556. $$ 更新 $y$： $$ y^1 = y^0+(x^1-z^1)=0+(0.667-1.556)\approx-0.889. $$ 第 2 次迭代： 更新 $x$： $$ x^2 = \frac{2+z^1-y^1}{3}=\frac{2+1.556-(-0.889)}{3}=\frac{2+1.556+0.889}{3}\approx\frac{4.445}{3}\approx1.4817. $$ 更新 $z$： $$ z^2 = \frac{4+y^1+x^2}{3}=\frac{4+(-0.889)+1.4817}{3}=\frac{4-0.889+1.4817}{3}\approx\frac{4.5927}{3}\approx1.5309. $$ 更新 $y$： $$ y^2 = y^1+(x^2-z^2)\approx -0.889+(1.4817-1.5309)\approx -0.889-0.0492\approx -0.938. $$ 第 3 次迭代： 更新 $x$： $$ x^3 = \frac{2+z^2-y^2}{3}=\frac{2+1.5309-(-0.938)}{3}=\frac{2+1.5309+0.938}{3}\approx\frac{4.4689}{3}\approx1.4896. $$ 更新 $z$： $$ z^3 = \frac{4+y^2+x^3}{3}=\frac{4+(-0.938)+1.4896}{3}\approx\frac{4.5516}{3}\approx1.5172. $$ 更新 $y$： $$ y^3 = y^2+(x^3-z^3)\approx -0.938+(1.4896-1.5172)\approx -0.938-0.0276\approx -0.9656. $$ 从迭代过程可以看出： $x$ 和 $z$ 的值在不断调整，目标是使两者相等，从而满足约束。 最终随着迭代次数增加，$x$ 和 $z$ 会收敛到约 1.5，同时乘子 $y$ 收敛到 $-1$（这与 KKT 条件相符）。 应用领域 大规模优化 在大数据、机器学习中利用并行计算加速求解。 信号与图像处理 用于去噪、压缩感知等稀疏表示问题。 分布式计算 在多节点协同场景下求解大规模问题。 优点与局限性 优点 局限性 分布式计算能力 小规模问题可能收敛较慢 支持稀疏性和正则化 参数 $\rho$ 需精细调节 收敛性稳定 — KKT 条件 KKT 条件是用于求解约束优化问题的一组必要条件，特别适用于非线性规划问题。当目标函数是非线性的，并且存在约束时，KKT 条件提供了优化问题的最优解的必要条件。 一般形式 考虑优化问题： $$ \min_x f(x) $$ 约束条件： $$ g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m $$ $$ h_j(x) = 0, \quad j = 1, 2, \dots, p $$ KKT 条件 1. 拉格朗日函数 构造拉格朗日函数： $$ \mathcal{L}(x, \lambda, \mu) = f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i g_i(x) + \sum_{j=1}^p \mu_j h_j(x) $$ 其中： $\lambda_i$ 是不等式约束的拉格朗日乘子 $\mu_j$ 是等式约束的拉格朗日乘子 2. 梯度条件（驻点条件） $$ \nabla_x \mathcal{L}(x, \lambda, \mu) = 0 $$ 即： $$ \nabla f(x) + \sum_{i=1}^m \lambda_i \nabla g_i(x) + \sum_{j=1}^p \mu_j \nabla h_j(x) = 0 $$ 3. 原始可行性条件 $$ g_i(x) \leq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m $$ $$ h_j(x) = 0, \quad j = 1, 2, \dots, p $$ 4. 对偶可行性条件 $$ \lambda_i \geq 0, \quad i = 1, 2, \dots, m $$ 5. 互补松弛性条件 $$ \lambda_i g_i(x) = 0, \quad i = 1, 2, \dots, m $$ （即：$\lambda_i > 0 \Rightarrow g_i(x) = 0$，或 $g_i(x) < 0 \Rightarrow \lambda_i = 0$） 示例： 我们有以下优化问题： $$ \min_x \quad f(x) = x^2 \\ \text{s.t.} \quad g(x) = x - 1 \leq 0 $$ 首先，我们可以直观地理解这个问题： 目标函数f(x)=x²是一个开口向上的抛物线，无约束时最小值在x=0 约束条件x-1≤0意味着x≤1 所以我们需要在x≤1的范围内找f(x)的最小值 显然，无约束最小值x=0已经满足x≤1的约束，因此x=0就是最优解。但让我们看看KKT条件如何形式化地得出这个结论。 1. 构造拉格朗日函数 拉格朗日函数为： $$ \mathcal{L}(x, \lambda) = x^2 + \lambda(x-1), \quad \lambda \geq 0 $$ 这里λ是拉格朗日乘子，必须非负（因为是不等式约束）。 2. KKT条件 KKT条件包括： 平稳性条件：∇ₓℒ = 0 原始可行性：g(x) ≤ 0 对偶可行性：λ ≥ 0 互补松弛性：λ·g(x) = 0 平稳性条件 对x求导： $$ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 2x + \lambda = 0 \quad (1) $$ 互补松弛性 $$ \lambda(x-1) = 0 \quad (2) $$ 这意味着有两种情况： 情况1：λ=0 情况2：x-1=0（即x=1） 情况1：λ=0 步骤 计算过程 结果 平稳性条件 $2x + 0 = 0 \Rightarrow x = 0$ $x = 0$ 原始可行性 $g(0) = 0 - 1 = -1 \leq 0$ 满足 对偶可行性 $\lambda = 0 \geq 0$ 满足 互补松弛性 $0 \cdot (-1) = 0$ 满足 情况2：x=1 步骤 计算过程 结果 平稳性条件 $2(1) + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -2$ $\lambda = -2$ 对偶可行性 $\lambda = -2 \geq 0$ 不满足（乘子为负） 唯一满足所有KKT条件的解是x=0, λ=0。 总结 KKT 条件通过拉格朗日乘子法将约束和目标函数结合，为求解约束优化问题提供了必要的最优性条件。其核心是： 拉格朗日函数的梯度为零 原始约束和对偶约束的可行性 互补松弛性
科研
zy123
4月1日
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2025-03-31
KAN
KAN Kolmogorov-Arnold表示定理 该定理表明，任何多元连续函数都可以表示为有限个单变量函数的组合。 对于任意一个定义在$[0,1]^n$上的连续多元函数： $$ f(x_1, x_2, \ldots, x_n), $$ 存在**单变量连续函数** $\phi_{q}$ 和 $\psi_{q,p}$（其中 $q = 1, 2, \ldots, 2n+1$，$p = 1, 2, \ldots, n$），使得： $$ f(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{q=1}^{2n+1} \phi_{q}\left( \sum_{p=1}^{n} \psi_{q,p}(x_p) \right). $$ 即，$f$可以表示为$2n+1$个“外层函数”$\phi_{q}$和$n \times (2n+1)$个“内层函数”$\psi_{q,p}$的组合。 和MLP的联系 Kolmogorov-Arnold定理 神经网络（MLP） 外层函数 $\phi_q$ 的叠加 输出层的加权求和（线性组合） + 激活函数 内层函数 $\psi_{q,p}$ 的线性组合 隐藏层的加权求和 + 非线性激活函数 固定 $2n+1$ 个“隐藏单元” 隐藏层神经元数量可以自由设计，依赖于网络的深度和宽度 严格的数学构造（存在性证明） 通过数据驱动的学习（基于梯度下降等方法）来优化参数 和MLP的差异 浅层结构（一个隐藏层）的数学表达与模型设计 模型 数学公式 模型设计 MLP $f(x) \approx \sum_{i=1}^{N} a_i \sigma(w_i \cdot x + b_i)$ 线性变换后再跟非线性激活函数(RELU) KAN $f(x) = \sum_{q=1}^{2n+1} \Phi_q \left( \sum_{p=1}^n \phi_{q,p}(x_p) \right)$ 可学习激活函数（如样条）在边上，求和操作在神经元上 边上的可学习函数： $\phi_{q,p}(x_p)$（如B样条） 求和操作：$\sum_{p=1}^n \phi_{q,p}(x_p)$ 深层结构的数学表达与模型设计 模型 数学公式 模型设计 MLP $\text{MLP}(x) = (W_3 \circ \sigma_2 \circ W_2 \circ \sigma_1 \circ W_1)(x)$ 交替的线性层（$W_i$）和固定非线性激活函数（$\sigma_i$）。 KAN $\text{KAN}(x) = (\Phi_3 \circ \Phi_2 \circ \Phi_1)(x)$ 每一层都是单变量函数的组合（$\Phi_i$），每一层的激活函数都可以进行学习 传统MLP的缺陷 梯度消失和梯度爆炸： 与其他传统的激活函数（如 Sigmoid 或 Tanh）一样，MLP 在进行反向传播时有时就会遇到梯度消失/爆炸的问题，尤其当网络层数过深时。当它非常小或为负大，网络会退化；连续乘积会使得梯度慢慢变为 0（梯度消失）或变得异常大（梯度爆炸），从而阻碍学习过程。 参数效率： MLP 常使用全连接层，每层的每个神经元都与上一层的所有神经元相连。尤其是对于大规模输入来说，这不仅增加了计算和存储开销，也增加了过拟合的风险。效率不高也不够灵活。 处理高维数据能力有限：MLP 没有利用数据的内在结构（例如图像中的局部空间相关性或文本数据的语义信息）。例如，在图像处理中，MLP 无法有效地利用像素之间的局部空间联系，这很典型在图像识别等任务上的性能不如卷积神经网络（CNN）。 长依赖问题： 虽然 MLP 理论上可以逼近任何函数，但在实际应用中，它们很难捕捉到序列中的长依赖关系（例如句子跨度很长）。这让人困惑：如何把前后序列的信息互相处理？而自注意力（如 transformer）在这类任务中表现更好。 但无论CNN/RNN/transformer怎么改进，都躲不掉MLP这个基础模型根上的硬伤，即线性组合+激活函数的模式。 KAN网络 主要贡献： 过去的类似想法受限于原始的Kolmogorov-Arnold表示定理（两层网络，宽度为2n+12n+1），未能利用现代技术（如反向传播）进行训练。 KAN通过推广到任意宽度和深度的架构，解决了这一限制，同时通过实验验证了KAN在“AI + 科学”任务中的有效性，兼具高精度和可解释性。 B样条（B-spline） 是一种通过分段多项式函数的线性组合构造的光滑曲线，其核心思想是利用局部基函数（称为B样条基函数）来表示整个曲线。 形式上，一个B样条函数通常表示为基函数的线性组合： $$ S(t) = \sum_{i=0}^{n} c_i \cdot B_i(t) $$ 其中： $B_i(t)$ 是 B样条基函数（basis functions）； $c_i$ 是 控制点 或系数（可以来自数据、拟合、插值等）； $S(t)$ 是最终的 B样条曲线 或函数。 每个基函数只在某个局部区间内非零，改变一个控制点只会影响曲线的局部形状。 示例：基函数定义 $B_0(t)$ - 支撑区间[0,1] $$ B_0(t) = \begin{cases} 1 - t, & 0 \leq t < 1,\\ 0, & \text{其他区间}. \end{cases} $$ $B_1(t)$ - 支撑区间[0,2] $$ B_1(t) = \begin{cases} t, & 0 \leq t < 1, \\ 2 - t, & 1 \leq t < 2, \\ 0, & \text{其他区间}. \end{cases} $$ $B_2(t)$ - 支撑区间[1,3] $$ B_2(t) = \begin{cases} t - 1, & 1 \leq t < 2, \\ 3 - t, & 2 \leq t < 3, \\ 0, & \text{其他区间}. \end{cases} $$ $B_3(t)$ - 支撑区间[2,4] $$ B_3(t) = \begin{cases} t - 2, & 2 \leq t < 3, \\ 4 - t, & 3 \leq t \leq 4, \\ 0, & \text{其他区间}. \end{cases} $$ 假设用该基函数对$f(t) = \sin\left(\dfrac{\pi t}{4}\right)$在[0,4]区间上拟合 $$ S(t) = 0 \cdot B_0(t) + 0.7071 \cdot B_1(t) + 1 \cdot B_2(t) + 0.7071 \cdot B_3(t) $$ 网络结构： 左图： 节点（如$x_{l,i}$）表示第$l$层第$i$个神经元的输入值 边（如$\phi_{l,j,i}$）表示可学习的激活函数（权重） 下一层节点的值计算： $$x_{l+1,j} = \sum_i \phi_{l,j,i}(x_{l,i})$$ 右图：
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zy123
3月31日
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2025-03-23
线性代数
线性代数 线性变换 每列代表一个基向量，行数代码这个基向量所张成空间的维度，二行三列表示二维空间的三个基向量。 二维标准基矩阵（单位矩阵）： $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & | \ \mathbf{i} & \mathbf{j} \ | & | \end{bmatrix} $$ 三维标准基矩阵（单位矩阵）： $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | & | & | \ \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ | & | & | \end{bmatrix} $$ 矩阵乘向量 在 3blue1brown 的“线性代数的本质”系列中，他把矩阵乘向量的运算解释为线性组合和线性变换的过程。具体来说： 计算方法 给定一个 $ m \times n $ 的矩阵 $ A $ 和一个 $ n $ 维向量 $ \mathbf = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T $，矩阵与向量的乘积可以表示为： $$ A\mathbf = x_1 \mathbf{a}_1 + x_2 \mathbf{a}_2 + \cdots + x_n \mathbf{a}_n $$ 其中，$\mathbf{a}_i$ 表示 $ A $ 的第 $ i $ 列向量。也就是说，我们用向量 $\mathbf $ 的各个分量作为权重，对矩阵的各列进行线性组合。 例如：矩阵 $ A $ 是一个二阶矩阵： $$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$ 向量 $ \mathbf $ 是一个二维列向量： $$ \mathbf = \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} $$ 可以将这个乘法看作是用 $ x $ 和 $ y $ 这两个数，分别对矩阵的两列向量进行加权： $$ A\mathbf = x \cdot \begin{bmatrix} a \ c \end{bmatrix} + y \cdot \begin{bmatrix} b \ d \end{bmatrix} $$ 也就是说，矩阵乘向量的结果，是“矩阵每一列”乘以“向量中对应的分量”，再把它们加起来。 背后的思想 分解为基向量的组合： 任何向量都可以看作是标准基向量的线性组合。矩阵 $ A $ 在几何上代表了一个线性变换，而标准基向量在这个变换下会分别被映射到新的位置，也就是矩阵的各列。 构造变换： 当我们用 $\mathbf $ 的分量对这些映射后的基向量加权求和时，就得到了 $ \mathbf $ 在变换后的结果。这种方式不仅方便计算，而且直观地展示了线性变换如何“重塑”空间——每一列告诉我们基向量被如何移动，然后这些移动按比例组合出最终向量的位置。 矩阵乘矩阵 当你有两个矩阵 $ A $ 和 $ B $，矩阵乘法 $ AB $ 实际上代表的是： 先对向量应用 $ B $ 的线性变换，再应用 $ A $ 的线性变换。 也就是说： $$ (AB)\vec{v} = A(B\vec{v}) $$ 3blue1brown 的直觉解释： 矩阵 B：提供了新的变换后基向量 记住：矩阵的每一列，表示标准基向量 $ \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 $ 在变换后的样子。 所以： $ B $ 是一个变换，它把空间“拉伸/旋转/压缩”成新的形状； $ A $ 接着又对这个已经变形的空间进行变换。 例： $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ $ B $ 的列是： $ \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} $ → 第一个标准基向量变形后的位置 $ \begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix} $ → 第二个标准基向量变形后的位置 我们计算： $ A \cdot \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix} $ $ A \cdot \begin{bmatrix} -1 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \ 3 \end{bmatrix} $ 所以： $$ AB = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} $$ 这个新矩阵 $ AB $ 的列向量，表示标准基向量在经历了 “先 B 再 A” 的变换后，落在了哪里。 行列式 3blue1brown讲解行列式时，核心在于用几何直观来理解行列式的意义： 缩放比例！！！ 体积（或面积）的伸缩因子 对于二维空间中的2×2矩阵，行列式的绝对值表示该矩阵作为线性变换时，对单位正方形施加变换后得到的平行四边形的面积。类似地，对于三维空间中的3×3矩阵，行列式的绝对值就是单位立方体变换后的平行六面体的体积。也就是说，行列式告诉我们这个变换如何“拉伸”或“压缩”空间。 方向的指示（有向面积或体积） 行列式不仅仅给出伸缩倍数，还通过正负号反映了变换是否保持了原来的方向（正）还是发生了翻转（负）。例如，在二维中，如果行列式为负，说明变换过程中存在翻转（类似镜像效果）。 变换的可逆性 当行列式为零时，说明该线性变换把空间压缩到了低维（例如二维变一条线，三维变成一个平面或线），这意味着信息在变换过程中丢失，变换不可逆。 逆矩阵、列空间、零空间 逆矩阵 逆矩阵描述了一个矩阵所代表的线性变换的**“反过程”**。假设矩阵 $A$ 对空间做了某种变换（比如旋转、拉伸或压缩），那么 $A^{-1}$ 就是把这个变换“逆转”，把变换后的向量再映射回原来的位置。 前提是$A$ 是可逆的，即它对应的变换不会把空间压缩到更低的维度。 秩 秩等于矩阵列向量（或行向量）所生成的空间的维数。例如，在二维中，如果一个 $2 \times 2$ 矩阵的秩是 2，说明这个变换把平面“充满”；如果秩为 1，则所有输出都落在一条直线上，说明变换“丢失”了一个维度。 列空间 列空间是矩阵所有列向量的线性组合所构成的集合（也可以说所有可能的输出向量$A\mathbf $所构成的集合）。 比如一个二维变换的列空间可能是整个平面，也可能只是一条直线，这取决于矩阵的秩。 零空间 零空间（又称核、kernel）是所有在该矩阵作用（线性变换$A$）下变成零向量的输入向量的集合。 它展示了变换中哪些方向被“压缩”成了一个点（原点）。例如，在三维中，如果一个矩阵将所有向量沿某个方向压缩到零，那么这个方向构成了零空间。 零空间解释了$Ax=0$的解的集合，就是齐次的通解。如果满秩，零空间只有唯一解零向量。 求解线性方程 设线性方程组写作 $$ A\mathbf = \mathbf{b} $$ 这相当于在问：“有没有一个向量 $\mathbf $ ，它经过矩阵 $A$ 的变换后，恰好落在 $\mathbf{b}$ 所在的位置？” 如果 $\mathbf{b}$ 落在 $A$ 的列空间内，那么就存在解。解可能是唯一的（当矩阵满秩时）或无穷多（当零空间非平凡时）。 如果 $\mathbf{b}$ 不在列空间内，则说明 $\mathbf{b}$ 不可能由 $A$ 的列向量线性组合得到，这时方程组无解。 唯一解对应于所有这些几何对象在一点相交； 无限多解对应于它们沿着某个方向重合； 无解则说明这些对象根本没有公共交点。 基变换 新基下的变换矩阵 $A_C$ 为： $$ A_C = P^{-1} A P $$ $P$：从原基到新基的基变换矩阵（可逆），$P$的每一列代表了新基中的一个基向量 $A$：线性变换 $T$ 在原基下的矩阵表示 原来空间中进行$A$线性变换等同于新基的视角下进行 $A_C$ 变换 点积、哈达马积 向量点积（Dot Product） 3blue1brown认为，两个向量的点乘就是将其中一个向量转为线性变换。 假设有两个向量 $$ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}. $$ $$ \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} =\begin{bmatrix} v_1 & v_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}=v_1w_1 + v_2w_2.. $$ 结果： 点积的结果是一个标量（即一个数）。 几何意义： 点积可以衡量两个向量的相似性，或者计算一个向量在另一个向量方向上的投影。 哈达马积（Hadamard Product） 定义： 对于两个向量 $\mathbf{u} = [u_1, u_2, \dots, u_n]$ 和 $\mathbf{v} = [v_1, v_2, \dots, v_n]$，它们的哈达马积定义为： $$ \mathbf{u} \circ \mathbf{v} = [u_1 v_1, u_2 v_2, \dots, u_n v_n]. $$ 结果： 哈达马积的结果是一个向量，其每个分量是对应位置的分量相乘。 几何意义： 哈达马积通常用于逐元素操作，比如在神经网络中对两个向量进行逐元素相乘。 矩阵也有哈达马积！。 特征值和特征向量 设矩阵： $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $$ 步骤 1：求特征值 构造特征方程： $$ \det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)(3-\lambda) - 0 = 0 $$ 解得： $$ (2-\lambda)(3-\lambda) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 3 $$ 步骤 2：求特征向量 对于 $\lambda_1 = 2$： 解方程： $$ (A - 2I)\mathbf = \begin{bmatrix} 2-2 & 1 \\ 0 & 3-2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 从第一行 $x_2 = 0$。因此特征向量可以写成： $$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad (\text{任意非零常数倍}) $$ 对于 $\lambda_2 = 3$： 解方程： $$ (A - 3I)\mathbf = \begin{bmatrix} 2-3 & 1 \\ 0 & 3-3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x_1+x_2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 从第一行得 $-x_1 + x_2 = 0$ 或 $x_2 = x_1$。因此特征向量可以写成： $$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \quad (\text{任意非零常数倍}) $$ 设一个对角矩阵： $$ D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 \\ 0 & d_2 \end{bmatrix} $$ $$ \lambda_1 = d_1,\quad \lambda_2 = d_2 $$ 对角矩阵的特征方程为： $$ \det(D - \lambda I) = (d_1 - \lambda)(d_2 - \lambda) = 0 $$ 因此特征值是： $$ \lambda_1 = d_1,\quad \lambda_2 = d_2 $$ 对于 $\lambda_1 = d_1$，方程 $(D-d_1I)\mathbf =\mathbf{0}$ 得到： $$ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & d_2-d_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ (d_2-d_1)x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 若 $d_1 \neq d_2$，则必须有 $x_2=0$，而 $x_1$ 可任意取非零值，因此特征向量为： $$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} $$ 对于 $\lambda_2 = d_2$，类似地解得： $$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ 矩阵乘法 全连接神经网络 其中： $a^{(0)}$ 是输入向量，表示当前层的输入。 $\mathbf{W}$ 是权重矩阵，表示输入向量到输出向量的线性变换。 $b$ 是偏置向量，用于调整输出。 $\sigma$ 是激活函数（如 ReLU、Sigmoid 等），用于引入非线性。 输入向量 $a^{(0)}$： $$ a^{(0)} = \begin{pmatrix} a_0^{(0)} \\ a_1^{(0)} \\ \vdots \\ a_n^{(0)} \end{pmatrix} $$ 这是一个 $n+1$ 维的列向量，表示输入特征。 权重矩阵 $\mathbf{W}$： $$ \mathbf{W} = \begin{pmatrix} w_{0,0} & w_{0,1} & \cdots & w_{0,n} \\ w_{1,0} & w_{1,1} & \cdots & w_{1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ w_{k,0} & w_{k,1} & \cdots & w_{k,n} \\ \end{pmatrix} $$ 这是一个 $k \times (n+1)$ 的矩阵，其中 $k$ 是输出向量的维度，$n+1$ 是输入向量的维度。 偏置向量 $b$： $$ b = \begin{pmatrix} b_0 \\ b_1 \\ \vdots \\ b_k \end{pmatrix} $$ 这是一个 $k$ 维的列向量，用于调整输出。 在传统的连续时间 RNN 写法里，常见的是 $$ \sum_{j} W_{ij} \, \sigma(x_j), $$ 这代表对所有神经元 $j$ 的激活 $\sigma(x_j)$ 做加权求和，再求和到神经元 $i$。 如果拆开来看，每个输出分量也都含一个求和 $\sum_{j}$： 输出向量的第 1 个分量（记作第 1 行的结果）： $$ (W_r x)_1 = 0.3 \cdot x_1 + (-0.5) \cdot x_2 = 0.3 \cdot 2 + (-0.5) \cdot 1 = 0.6 - 0.5 = 0.1. $$ 输出向量的第 2 个分量（第 2 行的结果）： $$ (W_r x)_2 = 1.2 \cdot x_1 + 0.4 \cdot x_2 = 1.2 \cdot 2 + 0.4 \cdot 1 = 2.4 + 0.4 = 2.8. $$ 在使用矩阵乘法时，你可以写成 $$ y = W_r \, \sigma(x), $$ 其中 $\sigma$ 表示对 $x$ 的各分量先做激活，接着用 $W_r$ 乘上去。这就是把“$\sum_j \dots$”用矩阵乘法隐藏了。 $$ \begin{pmatrix} 0.3 & -0.5\\ 1.2 & \;\,0.4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.3 \times 2 + (-0.5) \times 1\\[6pt] 1.2 \times 2 + 0.4 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 - 0.5\\ 2.4 + 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.1\\ 2.8 \end{pmatrix}. $$ 奇异值 定义 对于一个 $m \times n$ 的矩阵 $A$，其奇异值是非负实数 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_r$（$r = \min(m, n)$），满足存在正交矩阵 $U$ 和 $V$，使得： $$ A = U \Sigma V^T $$ 其中，$\Sigma$ 是对角矩阵，对角线上的元素即为奇异值。 主要特点 非负性：奇异值总是非负的。 对角矩阵的奇异值是对角线元素的绝对值。 降序排列：通常按从大到小排列，即 $\sigma_1 \geq \sigma_2 \geq \ldots \geq \sigma_r \geq 0$。 矩阵分解：奇异值分解（SVD）将矩阵分解为三个矩阵的乘积，$U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$\Sigma$ 是对角矩阵。 应用广泛：奇异值在数据降维、噪声过滤、图像压缩等领域有广泛应用。 奇异值求解 奇异值可以通过计算矩阵 $A^T A$ 或 $A A^T$ 的特征值的平方根得到。 步骤 1：计算 $A^T A$ 首先，我们计算矩阵 $A$ 的转置 $A^T$： $$ A^T = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} $$ 然后，计算 $A^T A$： $$ A^T A = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} $$ 步骤 2：计算 $A^T A$ 的特征值 接下来，我们计算 $A^T A$ 的特征值。特征值 $\lambda$ 满足以下特征方程： $$ \det(A^T A - \lambda I) = 0 $$ 即： $$ \det \begin{pmatrix} 9 - \lambda & 0 \\ 0 & 16 - \lambda \end{pmatrix} = (9 - \lambda)(16 - \lambda) = 0 $$ 解这个方程，我们得到两个特征值： $$ \lambda_1 = 16, \quad \lambda_2 = 9 $$ 步骤 3：计算奇异值 奇异值是特征值的平方根，因此我们计算： $$ \sigma_1 = \sqrt{\lambda_1} = \sqrt{16} = 4 $$ $$ \sigma_2 = \sqrt{\lambda_2} = \sqrt{9} = 3 $$ 结果 矩阵 $A$ 的奇异值为 4 和 3。 奇异值分解 给定一个实矩阵 $A$（形状为 $m \times n$），SVD 是将它分解为： $$ A = U \Sigma V^T $$ 构造 $A^T A$ 计算对称矩阵 $A^T A$（$n \times n$） 求解 $A^T A$ 的特征值和特征向量 设特征值为 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_n \geq 0$ 对应特征向量为 $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ 计算奇异值 $\sigma_i = \sqrt{\lambda_i}$ 构造矩阵 $V$ 将正交归一的特征向量作为列向量：$V = [\mathbf{v}_1 | \mathbf{v}_2 | \dots | \mathbf{v}_n]$ 求矩阵 $U$ 对每个非零奇异值：$\mathbf{u}_i = \frac{A \mathbf{v}_i}{\sigma_i}$ 标准化（保证向量长度为 1）后组成 $U = [\mathbf{u}_1 | \mathbf{u}_2 | \dots | \mathbf{u}_m]$ 构造 $\Sigma$ 对角线放置奇异值：$\Sigma = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_p)$，$p=\min(m,n)$ 范数 L2范数定义： 对于一个向量 $\mathbf{w} = [w_1, w_2, \dots, w_n]$，L2 范数定义为 $$ \|\mathbf{w}\|_2 = \sqrt{w_1^2 + w_2^2 + \dots + w_n^2} $$ 假设一个权重向量为 $\mathbf{w} = [3, -4]$，则 $$ \|\mathbf{w}\|_2 = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5. $$ 用途： 正则化（L2正则化/权重衰减）：在训练过程中，加入 L2 正则项有助于防止模型过拟合。正则化项通常是权重的 L2 范数的平方，例如 $$ \lambda \|\mathbf{w}\|_2^2 $$ 其中 $\lambda$ 是正则化系数。 梯度裁剪：在 RNN 等深度网络中，通过计算梯度的 L2 范数来判断是否需要对梯度进行裁剪，从而防止梯度爆炸。 具体例子： 假设我们有一个简单的线性回归模型，损失函数为均方误差（MSE）： $$ L(\mathbf{w}) = \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N (y_i - \mathbf{w}^T \mathbf _i)^2 $$ 其中，$N$ 是样本数量，$y_i$ 是第 $i$ 个样本的真实值，$\mathbf _i$ 是第 $i$ 个样本的特征向量，$\mathbf{w}$ 是权重向量。 加入 L2 正则项后，新的损失函数为： $$ L_{\text{reg}}(\mathbf{w}) = \frac{1}{2N} \sum_{i=1}^N (y_i - \mathbf{w}^T \mathbf _i)^2 + \lambda \|\mathbf{w}\|_2^2 $$ 在训练过程中，优化算法会同时最小化原始损失函数和正则项，从而在拟合训练数据的同时，避免权重值过大。 梯度更新 在梯度下降算法中，权重 $\mathbf{w}$ 的更新公式为： $$ \mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta \nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w}) $$ 其中，$\eta$ 是学习率，$\nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w})$ 是损失函数关于 $\mathbf{w}$ 的梯度。 对于加入 L2 正则项的损失函数，梯度为： $$ \nabla L_{\text{reg}}(\mathbf{w}) = \nabla L(\mathbf{w}) + 2\lambda \mathbf{w} $$ 因此，权重更新公式变为： $$ \mathbf{w} \leftarrow \mathbf{w} - \eta (\nabla L(\mathbf{w}) + 2\lambda \mathbf{w}) $$ 通过加入 L2 正则项，模型在训练过程中不仅会最小化原始损失函数，还会尽量减小权重的大小，从而避免过拟合。正则化系数 $\lambda$ 控制着正则化项的强度，较大的 $\lambda$ 会导致权重更小，模型更简单，但可能会欠拟合；较小的 $\lambda$ 则可能无法有效防止过拟合。因此，选择合适的 $\lambda$ 是使用 L2 正则化的关键。 矩阵的元素级范数 L0范数（但它 并不是真正的范数）： $$ \|A\|_0 = \text{Number of non-zero elements in } A = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \mathbb{I}(a_{ij} \neq 0) $$ 其中： $\mathbb{I}(\cdot)$ 是指示函数（若 $a_{ij} \neq 0$ 则取 1，否则取 0）。 如果矩阵 $A$ 有 $k$ 个非零元素，则 $|A|_0 = k$。 衡量稀疏性： $|A|_0$ 越小，矩阵 $A$ 越稀疏（零元素越多）。 在压缩感知、低秩矩阵恢复、稀疏编码等问题中，常用 $L_0$ 范数来 约束解的稀疏性。 非凸、非连续、NP难优化： $L_0$ 范数是 离散的，导致优化问题通常是 NP难 的（无法高效求解）。 因此，实际应用中常用 $L_1$ 范数（绝对值之和）作为凸松弛替代： $$ |A|1 = \sum{i,j} |a_{ij}| $$ NP难问题： 可以在多项式时间内 验证一个解是否正确，但 不一定能在多项式时间内找到解。 L1范数：元素绝对值和 $$ \|A\|_1 = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}| $$ 范数类型 定义 性质 优化难度 用途 $L_0$ $\sum_{i,j} \mathbb{I}(a_{ij} \neq 0)$ 非凸、离散、不连续 NP难 精确稀疏性控制 $L_1$ $\sum_{i,j} a_{ij} $ 凸、连续 矩阵的核范数 核范数，又称为迹范数（trace norm），是矩阵范数的一种，定义为矩阵所有奇异值之和。对于一个矩阵 $A$（假设其奇异值为 $\sigma_1, \sigma_2, \dots, \sigma_r$），其核范数定义为： $$ \|A\|_* = \sum_{i=1}^{r} \sigma_i, $$ 其中 $r$ 是矩阵 $A$ 的秩。 核范数的主要特点 凸性 核范数是一个凸函数，因此在优化问题中常用作替代矩阵秩的惩罚项（因为直接最小化矩阵秩是一个NP困难的问题）。 低秩逼近 在矩阵补全、低秩矩阵恢复等应用中，核范数被用来鼓励矩阵解具有低秩性质，因其是矩阵秩的凸松弛。 与SVD的关系 核范数直接依赖于矩阵的奇异值，计算时通常需要奇异值分解（SVD）。 Frobenius 范数 对于一个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$，其 Frobenius 范数定义为 $$ \|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}^2} $$ 这个定义与向量 $L2$ 范数类似，只不过是对矩阵中所有元素取平方和后再开平方。 对于归一化的向量$\mathbf _m$ ，其外积矩阵 $\mathbf _m \mathbf _m^T$，其元素为 $(\mathbf _m \mathbf m^T){ij} = x_i x_j$，因此： $$ \|\mathbf _m \mathbf _m^T\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |x_i x_j|^2 } = \sqrt{\left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{j=1}^n x_j^2 \right) } = \|\mathbf _m\|_2 \cdot \|\mathbf _m\|_2 = 1. $$ 例： 设归一化向量 $\mathbf = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$，其外积矩阵为： $$ \mathbf \mathbf ^T = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} $$ 计算 Frobenius 范数： $$ \|\mathbf \mathbf ^T\|_F = \sqrt{ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 } = \sqrt{4 \cdot \frac{1}{4}} = 1. $$ 如果矩阵 $A$ 的奇异值为 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n$，则： $$ \|A\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^n \sigma_i^2} $$ 这使得 Frobenius 范数在低秩近似和矩阵分解（如 SVD）中非常有用。 设矩阵 $A$ 为： $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $$ 定义： $$ \|A\|_F = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2 } = \sqrt{1 + 0 + 0 + 4 + 1 + 1} = \sqrt{7} $$ 验证： 计算 $A^T A$： $$ A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 \ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 5 \end{bmatrix} $$ 求 $A^T A$ 的特征值（即奇异值的平方）： $$ \det(A^T A - \lambda I) = \lambda^2 - 7\lambda + 9 = 0 \implies \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2} $$ 因此： $$ \sigma_1 = \sqrt{\frac{7 + \sqrt{13}}{2}}, \quad \sigma_2 = \sqrt{\frac{7 - \sqrt{13}}{2}} $$ 验证 Frobenius范数： $$ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 = \frac{7 + \sqrt{13}}{2} + \frac{7 - \sqrt{13}}{2} = 7 $$ 所以： $$ |A|_F = \sqrt{7} $$ 公式正确！ 迹和 Frobenius 范数的关系： $$ \|A\|_F^2 = \text{tr}(A^* A) $$ 这表明 Frobenius 范数的平方就是 $A^* A$ 所有特征值之和。而 $A^* A$ 的特征值开方就是A的奇异值。 最大范数 矩阵的最大范数（也称为 元素级无穷范数 或 一致范数）定义为矩阵所有元素绝对值的最大值： $$ \|A\|_{\max} = \max_{i,j} |A_{ij}| $$ 它衡量的是矩阵中绝对值最大的元素，适用于逐元素（element-wise）分析。 如果比较两个矩阵 $A$ 和 $B$，它们的误差矩阵 $E = A - B$ 的最大范数为： $$ \|A - B\|_{\max} = \max_{i,j} |A_{ij} - B_{ij}| $$ 意义： 如果 $|A - B|_{\max} \leq \epsilon$，说明 $A$ 和 $B$ 的所有对应元素的误差都不超过 $\epsilon$。 对于任意 $m \times n$ 的矩阵 $A$，以下不等式成立： $$ \|A\|_{\max} \leq \|A\|_F \leq \sqrt{mn} \cdot \|A\|_{\max} $$ 矩阵的迹 迹的定义 对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹（trace）定义为矩阵对角线元素之和： $$ \text{tr}(B) = \sum_{i=1}^n B_{ii} $$ 迹与特征值的关系 对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $B$，其迹等于其特征值之和。即： $$ \text{tr}(B) = \sum_{i=1}^n \lambda_i $$ 其中 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$ 是矩阵 $B$ 的特征值。 应用到 $A^ A$* 对于矩阵 $A^* A$（如果 $A$ 是实矩阵，则 $A^* = A^T$），它是一个半正定矩阵，其特征值是非负实数。 $A^* A$ 的迹还与矩阵 $A$ 的 Frobenius 范数有直接关系。具体来说： $$ \|A\|_F^2 = \text{tr}(A^* A) $$ 迹的基本性质 迹是一个线性运算，即对于任意标量 $c_1, c_2$ 和矩阵 $A, B$，有： $$ \text{tr}(c_1 A + c_2 B) = c_1 \text{tr}(A) + c_2 \text{tr}(B) $$ 对于任意矩阵 $A, B, C$，迹满足循环置换性质： $$ \text{tr}(ABC) = \text{tr}(CAB) = \text{tr}(BCA) $$ 注意：迹的循环置换性不意味着 $\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BAC)$，除非矩阵 $A, B, C$ 满足某些特殊条件（如对称性）。 酉矩阵 酉矩阵是一种复矩阵，其满足下面的条件：对于一个 $n \times n$ 的复矩阵 $U$，如果有 $$ U^* U = U U^* = I, $$ 其中 $U^*$ 表示 $U$ 的共轭转置（先转置再取复共轭），而 $I$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵，那么 $U$ 就被称为酉矩阵。简单来说，酉矩阵在复内积空间中保持内积不变，相当于在该空间中的“旋转”或“反射”。 如果矩阵的元素都是实数，那么 $U^*$ 就等于 $U^T$（转置），这时酉矩阵就退化为正交矩阵。 考虑二维旋转矩阵 $$ U = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}. $$ 当 $\theta$ 为任意实数时，这个矩阵满足 $$ U^T U = I, $$ 所以它是一个正交矩阵，同时也属于酉矩阵的范畴。 例如，当 $\theta = \frac{\pi}{4}$（45°）时， $$ U = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}. $$ 正定\正半定矩阵 正定矩阵（PD） $$ A \text{ 正定} \iff \forall, x \in \mathbb{R}^n \setminus {0}, \quad x^T A x > 0. $$ 正半定矩阵（PSD） $$ A \text{ 正半定} \iff \forall, x \in \mathbb{R}^n, \quad x^T A x \ge 0. $$ PD：所有特征值都严格大于零。 $\lambda_i(A)>0,;i=1,\dots,n$。 PSD：所有特征值都非负。 $\lambda_i(A)\ge0,;i=1,\dots,n$。 拉普拉斯矩阵是正半定矩阵！ 对于任意实矩阵 $A$（大小为 $m\times n$），矩阵 $B = A^T A\quad(\text{大小为 }n\times n).$是半正定矩阵 显然 $$ B^T = (A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A = B, $$ 所以 $B$ 是对称矩阵。 对任意向量 $x\in\mathbb R^n$，有 $$ x^T B,x = x^T (A^T A) x = (Ax)^T (Ax) = |Ax|^2 ;\ge;0. $$ 因此 $B$ 总是 正半定（PSD） 的。 对称非负矩阵分解 $$ A≈HH^T $$ 1. 问题回顾 给定一个对称非负矩阵 $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$，我们希望找到一个非负矩阵 $H\in\mathbb{R}^{n\times k}$ 使得 $$ A \approx HH^T. $$ 为此，我们可以**最小化目标函数(损失函数)** $$ f(H)=\frac{1}{2}\|A-HH^T\|_F^2, $$ 其中 $\|\cdot\|_F$ 表示 Frobenius 范数，定义为矩阵所有元素的平方和的平方根。 $| A - H H^T |_F^2$ 表示矩阵 $A - H H^T$ 的所有元素的平方和。 2. 梯度下降方法 2.1 计算梯度 目标函数(损失函数)是 $$ f(H)=\frac{1}{2}\|A-HH^T\|_F^2. $$ $$ \|M\|_F^2 = \operatorname{trace}(M^T M), $$ 因此，目标函数可以写成： $$ f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[\bigl(A-HH^T\bigr)^T\bigl(A-HH^T\bigr)\Bigr]. $$ 注意到 $A$ 和$HH^T$ 都是对称矩阵，可以简化为： $$ f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[\bigl(A-HH^T\bigr)^2\Bigr]. $$ 展开后得到 $$ f(H)=\frac{1}{2}\operatorname{trace}\Bigl[A^2 - 2AHH^T + (HH^T)^2\Bigr]. $$ 其中 $\operatorname{trace}(A^2)$ 与 $H$ 无关，可以看作常数，不影响梯度计算。 计算 $\nabla_H \operatorname{trace}(-2 A H H^T)$ $$ \nabla_H \operatorname{trace}(-2 A H H^T) = -4 A H $$ 计算 $\nabla_H \operatorname{trace}((H H^T)^2)$ $$ \nabla_H \operatorname{trace}((H H^T)^2) = 4 H H^T H $$ 将两部分梯度合并： $$ \nabla_H f(H) = \frac{1}{2}(4 H H^T H - 4 A H )= 2(H H^T H - A H) $$ 2.2 梯度下降更新 设学习率为 $\eta>0$，则梯度下降的基本更新公式为： $$ H \leftarrow H - \eta\, \nabla_H f(H) = H - 2\eta\Bigl(HH^T H - A H\Bigr). $$ 由于我们要求 $H$ 中的元素保持非负，所以每次更新之后通常需要进行投影： $$ H_{ij} \leftarrow \max\{0,\,H_{ij}\}. $$ 这种方法称为投影梯度下降，保证每一步更新后 $H$ 满足非负约束。 3. 举例说明 设对称非负矩阵： $$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \quad k=1, \quad H \in \mathbb{R}^{2 \times 1} $$ 初始化 $H^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$，学习率 $\eta = 0.01$。 迭代步骤： 初始 ( H^{(0)} ): $$ H^{(0)} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad H^{(0)}(H^{(0)})^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}. $$ 目标函数值： $$ f(H^{(0)}) = \frac{1}{2} \left( (2-1)^2 + 2(1-1)^2 + (2-1)^2 \right) = 1. $$ 计算梯度： $$ HH^T H = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad AH = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix}, $$ $$ \nabla_H f(H^{(0)}) = 2 \left( \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix}. $$ 更新 ( H ): $$ H^{(1)} = H^{(0)} - 2 \cdot 0.01 \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1.04 \\ 1.04 \end{bmatrix}. $$ 更新后目标函数： $$ H^{(1)}(H^{(1)})^T = \begin{bmatrix} 1.0816 & 1.0816 \\ 1.0816 & 1.0816 \end{bmatrix}, $$ $$ f(H^{(1)}) = \frac{1}{2} \left( (2-1.0816)^2 + 2(1-1.0816)^2 + (2-1.0816)^2 \right) \approx 0.8464. $$ 一次迭代后目标函数值从 $1.0$ 下降至 $0.8464$
科研
zy123
3月23日
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2025-03-22
同步本地Markdown至Typecho站点
同步本地Markdown至Typecho站点 本项目基于https://github.com/Sundae97/typecho-markdown-file-publisher 实现效果： 将markdown发布到typecho 发布前将markdown中的公式块和代码块进行格式化，确保能适配md解析器。 发布前将markdown的图片资源上传到自己搭建的图床Easyimage中（自行替换成阿里云OSS等）, 并替换markdown中的图片链接。 将md所在的文件夹名称作为post的category(mysql发布可以插入category, xmlrpc接口暂时不支持category操作)。 以title和category作为文章的唯一标识，如果数据库中已有该数据，将会更新现有文章，否则新增文章。 环境：Typecho1.2.1 php8.1.0 项目目录 typecho_markdown_upload/main.py是上传md文件到站点的核心脚本 transfer_md/transfer.py是对md文件进行预处理的脚本。 核心思路 一、预先准备 图床服务器 本人自己在服务器上搭建了私人图床——easyimage，该服务能够实现图片上传并返回公网 URL，这对于在博客中正常显示 Markdown 文件中的图片至关重要。 当然，也可以选择使用公共图床服务，如阿里云 OSS，但这里不做详细介绍。 需手动修改transfer_md/upload_img.py，配置url、token等信息。 参考博客：【好玩儿的Docker项目】10分钟搭建一个简单图床——Easyimage-我不是咕咕鸽 github地址：icret/EasyImages2.0: 简单图床 - 一款功能强大无数据库的图床 2.0版 picgo安装： 使用 Typora + PicGo + Easyimage 组合，可以实现将本地图片直接粘贴到 Markdown 文件中，并自动上传至图床。 下载地址：Releases · Molunerfinn/PicGo 操作步骤如下： 打开 PicGo，点击右下角的小窗口。 进入插件设置，搜索并安装 web-uploader 1.1.1 插件（注意：旧版本可能无法搜索到，建议直接安装最新版本）。 配置插件：在设置中填写 API 地址，该地址可在 Easyimage 的“设置-API设置”中获取。 配置完成后，即可实现图片自动上传，提升 Markdown 编辑体验。 Typora 设置 为了确保在博客中图片能正常显示，编辑 Markdown 文档时必须将图片上传至图床，而不是保存在本地。请按以下步骤进行配置： 在 Typora 中，打开 文件 → 偏好设置 → 图像 选项。 在 “插入图片时” 选项中，选择 上传图片。 在 “上传服务设定” 中选择 PicGo，并指定 PicGo 的安装路径。 文件结构统一： md_files ├── category1 │ ├── file1.md │ └── file2.md ├── category2 │ ├── file3.md │ └── file4.md └── output ├── assets_type ├── pics └── updated_files 注意：category对应上传到typecho中的文章所属的分类。 如果你现有的图片分散在系统中，可以使用 transfer_md/transfer.py 脚本来统一处理。该脚本需要传入三个参数： input_path： 指定包含 Markdown 文件的根目录（例如上例中的 md_files）。 output_path： 输出文件夹（例如上例中的 output）。 type_value： 1：扫描 input_path 下所有 Markdown 文件，将其中引用的本地图片复制到 output_path 中，同时更新 Markdown 文件中的图片 URL 为 output_path 内的路径； 2：为每个 Markdown 文件建立单独的文件夹（以文件名命名），图片存放在文件夹下的 assets 子目录中，整体存入assets_type文件夹中，； 3：扫描 Markdown 文件中的本地图片，将其上传到图床（获取公网 URL），并将 Markdown 文件中对应的图片 URL 替换为公网地址。 4：预处理Markdown 文件，将公式块和代码块格式化，以便于Markdown解析器解析（本地typora编辑器对于md格式比较宽容，但博客中使用的md解析器插件不一定能正确渲染！） 二、使用Git进行版本控制 假设你在服务器上已经搭建了 Gitea (Github、Gitee都行)并创建了一个名为 md_files 的仓库，那么你可以在 md_files 文件夹下通过 Git Bash 执行以下步骤将本地文件提交到远程仓库： 初始化本地仓库： git init 添加远程仓库： 将远程仓库地址添加为 origin（请将 http://xxx 替换为你的实际仓库地址）： git remote add origin http://xxx 添加文件并提交： 注意，写一个.gitignore文件将output排除版本控制 git add . git commit -m "Initial commit" 推送到远程仓库： git push -u origin master 后续更新（可写个.bat批量执行）： git add . git commit -m "更新了xxx内容" git push 三、在服务器上部署该脚本 1. 确保脚本能够连接到 Typecho 使用的数据库 本博客使用 docker-compose 部署 Typecho（参考：【好玩儿的Docker项目】10分钟搭建一个Typecho博客｜太破口！念念不忘，必有回响！-我不是咕咕鸽）。为了让脚本能访问 Typecho 的数据库，我将 Python 应用pyapp也通过 docker-compose 部署，这样所有服务均在同一网络中，互相之间可以直接通信。 参考docker-compose.yml如下： services: nginx: image: nginx ports: - "4000:80" # 左边可以改成任意没使用的端口 restart: always environment: - TZ=Asia/Shanghai volumes: - ./typecho:/var/www/html - ./nginx:/etc/nginx/conf.d - ./logs:/var/log/nginx depends_on: - php networks: - web php: build: php restart: always expose: - "9000" # 不暴露公网，故没有写9000:9000 volumes: - ./typecho:/var/www/html environment: - TZ=Asia/Shanghai depends_on: - mysql networks: - web pyapp: build: ./markdown_operation # Dockerfile所在的目录 restart: "no" volumes: - /home/zy123/md_files:/markdown_operation/md_files networks: - web env_file: - .env depends_on: - mysql mysql: image: mysql:5.7 restart: always environment: - TZ=Asia/Shanghai expose: - "3306" # 不暴露公网，故没有写3306:3306 volumes: - ./mysql/data:/var/lib/mysql - ./mysql/logs:/var/log/mysql - ./mysql/conf:/etc/mysql/conf.d env_file: - mysql.env networks: - web networks: web: 注意：如果你不是用docker部署的typecho，只要保证脚本能连上typecho所使用的数据库并操纵里面的表就行！ 2. 将 md_files 挂载到容器中，保持最新内容同步 这样有几个优势： 不需要每次构建镜像或进入容器手动拉取； 本地更新 md_files 后，容器内自动同步，无需额外操作； 保持了宿主机上的 Git 版本控制和容器内的数据一致性。 3.仅针对 pyapp 服务进行重构和启动，不影响其他服务的运行： pyapp是本Python应用在容器内的名称。 1.构建镜像： docker-compose build pyapp 2.启动容器并进入 Bash： docker-compose run --rm -it pyapp /bin/bash 3.在容器内运行脚本： python typecho_markdown_upload/main.py 2、3两步可合并为： docker-compose run --rm pyapp python typecho_markdown_upload/main.py 此时可以打开博客验证一下是否成功发布文章了！ 如果失败，可以验证mysql数据库: 1️⃣ 进入 MySQL 容器： docker-compose exec mysql mysql -uroot -p # 输入你的 root 密码 2️⃣ 切换到 Typecho 数据库并列出表： USE typecho; SHOW TABLES; 3️⃣ 查看 typecho_contents 表结构（文章表）： DESCRIBE typecho_contents; mysql> DESCRIBE typecho_contents; +--------------+------------------+------+-----+---------+----------------+ | Field | Type | Null | Key | Default | Extra | +--------------+------------------+------+-----+---------+----------------+ | cid | int(10) unsigned | NO | PRI | NULL | auto_increment | | title | varchar(150) | YES | | NULL | | | slug | varchar(150) | YES | UNI | NULL | | | created | int(10) unsigned | YES | MUL | 0 | | | modified | int(10) unsigned | YES | | 0 | | | text | longtext | YES | | NULL | | | order | int(10) unsigned | YES | | 0 | | | authorId | int(10) unsigned | YES | | 0 | | | template | varchar(32) | YES | | NULL | | | type | varchar(16) | YES | | post | | | status | varchar(16) | YES | | publish | | | password | varchar(32) | YES | | NULL | | | commentsNum | int(10) unsigned | YES | | 0 | | | allowComment | char(1) | YES | | 0 | | | allowPing | char(1) | YES | | 0 | | | allowFeed | char(1) | YES | | 0 | | | parent | int(10) unsigned | YES | | 0 | | | views | int(11) | YES | | 0 | | | agree | int(11) | YES | | 0 | | +--------------+------------------+------+-----+---------+----------------+ 4️⃣ 查询当前文章数量（确认执行前后有无变化）： SELECT COUNT(*) AS cnt FROM typecho_contents; 自动化 1.windows下写脚本自动/手动提交每日更新 2.在 Linux 服务器上配置一个定时任务，定时执行 git pull 命令和启动脚本更新博客的命令。 创建脚本/home/zy123/typecho/deploy.sh #!/bin/bash cd /home/zy123/md_files || exit git pull cd /home/zy123/typecho || exit docker compose run --rm pyapp python typecho_markdown_upload/main.py 赋予可执行权限chmod +x /home/zy123/deploy.sh 编辑 Crontab 安排任务（每天0点10分执行） 打开 crontab 编辑器：$crontab -e$ 10 0 * * * /home/zy123/typecho/deploy.sh >> /home/zy123/typecho/deploy.log 2>&1 3.注意md_files文件夹所属者和deploy.sh的所属者需要保持一致。否则会报： fatal: detected dubious ownership in repository at '/home/zy123/md_files' To add an exception for this directory, call: git config --global --add safe.directory /home/zy123/md_files TODO typecho_contents表中的slug字段代表链接中的日志缩略名，如wordpress风格 /archives/{slug}.html，目前是默认int自增，有需要的话可以在插入文章时手动设置该字段。
自学
zy123
3月22日
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2025-03-21
图神经网络
图神经网络 图表示学习的本质是把节点映射成低维连续稠密的向量。这些向量通常被称为 嵌入（Embedding），它们能够捕捉节点在图中的结构信息和属性信息，从而用于下游任务（如节点分类、链接预测、图分类等）。 低维：将高维的原始数据（如邻接矩阵或节点特征）压缩为低维向量，减少计算和存储开销。 连续：将离散的节点或图结构映射为连续的向量空间，便于数学运算和捕捉相似性。 稠密：将稀疏的原始数据转换为稠密的向量，每个维度都包含有意义的信息。 对图数据进行深度学习的“朴素做法” 把图的邻接矩阵和节点特征“直接拼接”成固定维度的输入，然后将其送入一个深度神经网络（全连接层）进行学习。 这种做法面临重大问题，导致其并不可行： $O(|V|^2)$ 参数量 ，参数量庞大 无法适应不同大小的图 ，需要固定输入维度 对节点顺序敏感 ，节点编号顺序一变，输入就完全变样，但其实图的拓扑并没变（仅节点编号/排列方式不同）。 A —— B | | D —— C 矩阵 1（顺序 $[A,B,C,D]$）： $$ M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\ 1 & 0 & 1 & 0\ 0 & 1 & 0 & 1\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$ 矩阵 2（顺序 $[C,A,D,B]$）： $$ M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ 两个矩阵完全不同，但它们对应的图是相同的（只不过节点的顺序改了）。 计算图 在图神经网络里，通常每个节点$v$ 都有一个局部计算图，用来表示该节点在聚合信息时所需的所有邻居（及邻居的邻居……）的依赖关系。 直观理解 以节点 $v$ 为根； 1-hop 邻居在第一层，2-hop 邻居在第二层…… 逐层展开直到一定深度（例如 k 层）。 这样形成一棵“邻域树”或“展开图”，其中每个节点都需要从其子节点（邻居）获取特征进行聚合。 例子 在图神经网络中，每一层的计算通常包括以下步骤： 聚合（Aggregation）：将邻居节点的特征聚合起来（如求和、均值、最大值等）。 变换（Transformation）：将聚合后的特征通过一个神经网络（如 MLP）进行非线性变换。 A | B / \ C D 假设每个节点的特征是一个二维向量： 节点 $ A $ 的特征：$ h_A = [1.0, 0.5] $ 节点 $ B $ 的特征：$ h_B = [0.8, 1.2] $ 节点 $ C $ 的特征：$ h_C = [0.3, 0.7] $ 节点 $ D $ 的特征：$ h_D = [1.5, 0.9] $ 第 1 层更新：$A^{(0)} \to A^{(1)}$ 节点 $A$ 的 1-hop 邻居：只有 $B$。 聚合（示例：自+邻居取平均）： $$ z_A^{(1)} = \frac{A^{(0)} + B^{(0)}}{2} = \frac{[1.0,,0.5] + [0.8,,1.2]}{2} = \frac{[1.8,,1.7]}{2} = [0.9,,0.85]. $$ MLP 变换：用一个MLP映射 $z_A^{(1)}$ 到 2 维输出： $$ A^{(1)} ;=; \mathrm{MLP_1}\bigl(z_A^{(1)}\bigr). $$ （数值略，可想象 $\mathrm{MLP}([0.9,0.85]) \approx [1.0,0.6]$ 之类。） 结果：$A^{(1)}$ 包含了 A 的初始特征 + B 的初始特征信息。 第 2 层更新：$A^{(1)} \to A^{(2)}$ 为了让 A 获得 2-hop 范围（$C, D$）的信息，需要先让 $B$ 在第 1 层就吸收了 $C, D$ 的特征，从而 $B^{(1)}$ 蕴含 $C, D$ 信息。然后 A 在第 2 层再从 $B^{(1)}$ 聚合。 节点 B 在第 1 层（简要说明） 邻居：${A,C,D}$ 聚合：$z_B^{(1)} = \frac{B^{(0)} + A^{(0)} + C^{(0)} + D^{(0)}}{4} = \frac{[0.8,,1.2] + [1.0,,0.5] + [0.3,,0.7] + [1.5,,0.9]}{4} = \frac{[3.6,,3.3]}{4} = [0.9,,0.825].$ MLP 变换：$B^{(1)} = \mathrm{MLP}\bigl(z_B^{(1)}\bigr)$。 此时 $B^{(1)}$ 已经包含了 $C, D$ 的信息。 节点 $A$ 的第 2 层聚合 邻居：$B$，但此时要用 $B^{(1)}$（它已吸收 C、D） 聚合： $$ z_A^{(2)} = A^{(1)} + B^{(1)}. $$ MLP 变换： $$ A^{(2)} = \mathrm{MLP_2}\bigl(z_A^{(2)}\bigr). $$ 结果：$A^{(2)}$ 就包含了 2-hop 范围的信息，因为 $B^{(1)}$ 中有 $C, D$ 的贡献。 GNN 的层数就是节点聚合邻居信息的迭代次数（也是计算图的层数）。 同一层里，所有节点共享一组参数（同一个 MLP 或全连接神经网络） 矩阵运算 符号波浪号用于表示经过自环增强的矩阵。 $\tilde D^{-1},\tilde A,\tilde D^{-1}H$ $H'=\tilde D^{-1},\tilde A,H$ A | B / \ C D 1.构造矩阵 含自环邻接矩阵 $\tilde A=A+I$ $$ \tilde A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ 度矩阵 $\tilde D$（对角＝自身＋邻居数量） $$ \tilde D = \mathrm{diag}(2,\,4,\,2,\,2) $$ 特征矩阵 $H$（每行为一个节点的特征向量） $$ H = \begin{bmatrix} 1.0 & 0.5\\ 0.8 & 1.2\\ 0.3 & 0.7\\ 1.5 & 0.9 \end{bmatrix} $$ **2.计算** 求和： $\tilde A,H$ $$ \tilde A H = \begin{bmatrix} 1.8 & 1.7\\ 3.6 & 3.3\\ 1.1 & 1.9\\ 2.3 & 2.1 \end{bmatrix} $$ 平均： $\tilde D^{-1}(\tilde A H)$ $$ \tilde D^{-1}\tilde A H = \begin{bmatrix} 0.90 & 0.85\\ 0.90 & 0.825\\ 0.55 & 0.95\\ 1.15 & 1.05 \end{bmatrix} $$ GCN 在 GCN 里，归一化（normalization）的核心目的就是 平衡不同节点在信息传播（message‑passing）中的影响力，避免「高连通度节点（high‑degree nodes）」主导了所有邻居的特征聚合。 $H' = \tilde D^{-1},\tilde A,\tilde D^{-1}H$ 对节点 $i$ 来说： $$ H'_i = \frac1{d_i}\sum_{j\in \mathcal N(i)}\frac1{d_j}\,H_j $$ 先用源节点 $j$ 的度 $d_j$ 缩小它的特征贡献，再用目标节点 $i$ 的度 $d_i$ 归一化总和。 GCN中实际的公式： $$ H^{(l+1)} = \sigma\Big(\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}H^{(l)}W^{(l)}\Big) $$ 其中： $H^{(l)}$ 是第 $l$ 层的输入特征（对第 $0$ 层来说就是节点的初始特征）， $W^{(l)}$ 是第 $l$ 层的可训练权重矩阵，相当于一个简单的线性变换（类似于 MLP 中的全连接层）， $\sigma(\cdot)$ 是非线性激活函数（例如 ReLU）， $\tilde{A}$ 是包含自连接的邻接矩阵， $\tilde{D}$ 是 $\tilde{A}$ 的度矩阵。 $\tilde{D}^{-1/2}\tilde{A}\tilde{D}^{-1/2}$的优势 1.对称归一化：$\tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 是一个对称矩阵，这意味着信息在节点之间的传播是双向一致的。这种对称性特别适合无向图，因为无向图的邻接矩阵 $\tilde A$ 本身就是对称的。 2.适度抑制高连通度节点：对称平方根归一化通过 $\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 对源节点和目标节点同时进行归一化，能够适度抑制高连通度节点的特征贡献，而不会过度削弱其影响力。 3.谱半径控制：对称平方根归一化后的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 的谱半径（最大特征值）被控制在 $[0, 1]$ 范围内，这有助于保证模型的数值稳定性。 4.归一化拉普拉斯矩阵：对称平方根归一化的传播矩阵 $\tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 与归一化拉普拉斯矩阵 $L = I - \tilde D^{-\frac{1}{2}},\tilde A,\tilde D^{-\frac{1}{2}}$ 有直接联系。归一化拉普拉斯矩阵在图信号处理中具有重要的理论意义，能够更好地描述图的频谱特性。 GraphSAGE优化 $$ h_v^{(k+1)} = \sigma \Big( \mathbf{W}_{\text{self}}^{(k)} \cdot h_v^{(k)} \;+\; \mathbf{W}_{\text{neigh}}^{(k)} \cdot \mathrm{MEAN}_{u\in N(v)}\bigl(h_u^{(k)}\bigr) \Big), $$ GAT 以下例子只汇聚了一阶邻居信息！ 图注意力网络（GAT）中最核心的运算：图注意力层。它的基本思想是： 线性变换：先对每个节点的特征 $\mathbf{h}_i$ 乘上一个可学习的权重矩阵 $W$，得到变换后的特征 $W \mathbf{h}_i$。 自注意力机制：通过一个可学习的函数 $a$，对节点 $i$ 和其邻居节点 $j$ 的特征进行计算，得到注意力系数 $e_{ij}$。这里会对邻居进行遮蔽（masked attention），即只计算图中有边连接的节点对。 归一化：将注意力系数 $e_{ij}$ 通过 softmax 进行归一化，得到 $\alpha_{ij}$，表示节点 $j$ 对节点 $i$ 的重要性权重。 聚合：最后利用注意力系数加权邻居节点的特征向量，并经过激活函数得到新的节点表示 $\mathbf{h}_i'$。 多头注意力：为增强表示能力，可并行地执行多个独立的注意力头（multi-head attention），再将它们的结果进行拼接（或在最后一层进行平均），从而得到最终的节点表示。 输入： 节点特征矩阵（Node Features） 形状：[num_nodes, num_features] 每个节点的初始特征向量，例如社交网络中用户的属性或分子图中原子的特征。 图的边结构（Edge Index） 形状：**[2, num_edges]（稀疏邻接表格式）**或稠密邻接矩阵 [num_nodes, num_nodes]（最好是将邻接矩阵转为邻接表） 定义图中节点的连接关系（有向/无向边）。 预训练的GAT模型参数 包括注意力层的权重矩阵、注意力机制参数等（通过model.load_state_dict()加载） 线性变换（特征投影） 目的：将原始特征映射到更高维/更有表达力的空间。 操作：对每个节点的特征向量 $\mathbf{h}_i$ 左乘可学习权重矩阵 $W$（维度为 $d' \times d$，$d$ 是输入特征维度，$d'$ 是输出维度）： $$ \mathbf{z}_i = W \mathbf{h}_i, \quad \mathbf{z}_j = W \mathbf{h}_j $$ 自注意力系数计算（关键步骤） 目标：计算节点 $i$ 和邻居 $j$ 之间的未归一化注意力得分 $e_{ij}$。 实现方式： 步骤1：将两个节点的投影特征 $\mathbf{z}_i$ 和 $\mathbf{z}_j$ 拼接（$|$），得到一个联合表示。 步骤2：通过一个可学习的参数向量 $\mathbf{a}$（维度 $2d'$）和激活函数（如LeakyReLU）计算得分： $$ e_{ij} = \text{LeakyReLU}\Bigl(\mathbf{a}^\top [\mathbf{z}_i | \mathbf{z}_j]\Bigr) $$ 直观理解：$\mathbf{a}$ 像一个"问题"，询问两个节点的联合特征有多匹配。 公式拆分： 拼接：$[\mathbf{z}_i | \mathbf{z}_j]$（长度 $2d'$） 点积：$\mathbf{a}^\top [\mathbf{z}_i | \mathbf{z}_j]$（标量） 非线性激活：LeakyReLU（引入稀疏性，避免负值被完全抑制） 归一化注意力权重 目的：让注意力系数在邻居间具有可比性（总和为1）。 方法：对 $e_{ij}$ 应用 softmax，仅对节点 $i$ 的邻居 $\mathcal{N}i$ 归一化： $$ \alpha{ij} = \text{softmax}j(e{ij}) = \frac{\exp(e_{ij})}{\sum_{k \in \mathcal{N}i} \exp(e{ik})} $$ 关键点：分母只包含节点 $i$ 的直接邻居（包括自己，如果图含自环）。 注意力系数计算示例（带数值模拟） 假设： 输入特征 $\mathbf{h}_i = [1.0, 2.0]$, $\mathbf{h}_j = [0.5, 1.5]$（维度 $d=2$） 权重矩阵 $W = \begin{bmatrix}0.1 & 0.2 \ 0.3 & 0.4\end{bmatrix}$（$d'=2$） 参数向量 $\mathbf{a} = [0.5, -0.1, 0.3, 0.2]$（长度 $2d'=4$） 计算步骤： 线性变换： $$ \mathbf{z}_i = W \mathbf{h}_i = [0.1 \times 1.0 + 0.2 \times 2.0,\ 0.3 \times 1.0 + 0.4 \times 2.0] = [0.5, 1.1] $$ $$ \mathbf{z}_j = W \mathbf{h}_j = [0.1 \times 0.5 + 0.2 \times 1.5,\ 0.3 \times 0.5 + 0.4 \times 1.5] = [0.35, 0.75] $$ 拼接特征： $$ [\mathbf{z}_i | \mathbf{z}_j] = [0.5, 1.1, 0.35, 0.75]\ [\mathbf{z}_i | \mathbf{z}_i] = [0.5, 1.1, 0.5, 1.1] $$ 计算未归一化得分： $$ e_{ij} = \text{LeakyReLU}(0.5 \times 0.5 + (-0.1) \times 1.1 + 0.3 \times 0.35 + 0.2 \times 0.75) = \text{LeakyReLU}(0.25 - 0.11 + 0.105 + 0.15) = \text{LeakyReLU}(0.395) = 0.395 $$ $$ e_{ii} = \text{LeakyReLU}(0.5 \times 0.5 + (-0.1) \times 1.1 + 0.3 \times 0.5 + 0.2 \times 1.1)=0.51 $$ （假设LeakyReLU斜率为0.2，正输入不变） 归一化（假设邻居只有 $j$ 和自身 $i$）： $$ \alpha_{ij} = \frac{\exp(0.395)}{\exp(0.395) + \exp(0.51)}\approx 0.529 $$ 特征聚合 单头注意力聚合（得到新的节点特征） $$ \mathbf{h}_i' = \sigma\Bigl(\sum_{j \in \mathcal{N}_i} \alpha_{ij} \,W \mathbf{h}_j\Bigr)=\sigma\left(\sum_{j \in \mathcal{N}_i} \alpha_{ij} \mathbf{z}_j\right) $$ 对$i$ 的邻居节点加权求和，再经过非线性激活函数得到新的特征表示 多头注意力(隐藏层时拼接) 每个头都有自己的一组可学习参数，并独立计算注意力系数和输出特征。以捕捉邻居节点的多种不同关系或特征。 如果有 $K$ 个独立的注意力头，每个头输出 $\mathbf{h}_i'^{(k)}$，则拼接后的输出为： $$ \begin{align*} \mathbf{h}_i' = \Bigg\Vert_{\substack{k=1 \\ ~}}^{K} \mathbf{h}_i^{(k)} \end{align*} $$ 其中，$\big\Vert$ 表示向量拼接操作，$\alpha_{ij}^{(k)}$、$W^{(k)}$ 分别为第 $k$ 个注意力头对应的注意力系数和线性变换。 例假如： $$ \mathbf{h}_i'^{(1)} = \sigma\left(\begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix}. \\ \mathbf{h}_i'^{(2)} = \sigma\left(\begin{bmatrix} 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}\right) = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}. $$ 将两个头的输出在特征维度上进行拼接，得到最终节点 $i$ 的新特征表示： $$ \mathbf{h}_i' = \mathbf{h}_i'^{(1)} \,\Vert\, \mathbf{h}_i'^{(2)} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \end{bmatrix} \,\Vert\, \begin{bmatrix} 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.6 \\ 0.4 \\ 0.6 \\ 1.4 \end{bmatrix}. $$ 意义：不同注意力头可以学习到节点之间不同类型的依赖关系。例如： 一个头可能关注局部邻居（如一阶邻居的拓扑结构）， 另一个头可能关注全局特征相似性（如节点特征的余弦相似性）。 多头注意力（输出层时平均） 在最终的输出层（例如分类层）通常会将多个头的结果做平均，而不是拼接： $$ \begin{align*} \mathbf{h}_i' = \sigma\left(\frac{1}{K}\sum_{k=1}^K \mathbf{h}_i^{(k)}\right) \end{align*} $$ 多头注意力比喻：盲人摸象 + 团队合作 场景： 大象 = 图中的目标节点及其邻居（待分析的复杂结构） 盲人 = 多个注意力头（每个头独立"观察"） 团队指挥 = 损失函数（指导所有盲人协作） 1. 初始摸象（前向传播） 盲人A（头1）： 摸到腿（关注局部结构邻居），心想："柱子！这动物像房子。"（生成表示 $\mathbf{h}_i^{(1)}$） 初始偏好：腿的粗细、纹理（权重 $W^{(1)}$ 和 $\mathbf{a}^{(1)}$ 的初始化倾向） 盲人B（头2）： 摸到鼻子（关注特征相似的邻居），心想："软管！这动物能喷水。"（生成表示 $\mathbf{h}_i^{(2)}$） 初始偏好：鼻子的长度、灵活性（权重 $W^{(2)}$ 和 $\mathbf{a}^{(2)}$ 不同） 盲人C（头3）： 摸到尾巴（关注远距离邻居），心想："绳子！这动物有附件。"（生成表示 $\mathbf{h}_i^{(3)}$） 2. 团队汇报（多头聚合） 综合报告： 将三人的描述拼接："柱子+软管+绳子"（$\mathbf{h}_i' = \text{concat}(\mathbf{h}_i^{(1)}, \mathbf{h}_i^{(2)}, \mathbf{h}_i^{(3)})$） 指挥者（分类器）猜测："这可能是大象。"（预测结果 $\hat{y}_i$） 3. 指挥者反馈（损失函数） 真实答案：是大象（标签 $y_i$） 损失计算： 当前综合报告遗漏了"大耳朵"（交叉熵损失 $\mathcal{L}$ 较高） 指挥者说："接近答案，但还缺关键特征！"（反向传播梯度） 4. 盲人调整（梯度更新） 盲人A（头1）： 听到反馈："需要更多特征，但你的柱子描述还行。" 调整：更精确测量腿的直径和硬度（更新 $W^{(1)}$），而非改摸鼻子 结果：下次报告"粗柱子上有横向褶皱"（更接近象腿的真实特征） 盲人B（头2）： 听到反馈："软管描述不够独特。" 调整：更仔细感受鼻子的褶皱和肌肉运动（更新 $W^{(2)}$） 结果：下次报告"可弯曲的软管，表面有环形纹路" 盲人C（头3）： 听到反馈："绳子太模糊。" 调整：注意尾巴的末端毛发（更新 $W^{(3)}$） 结果：下次报告"短绳末端有硬毛刷" 5. 最终协作 新一轮综合报告："褶皱粗柱 + 环形软管 + 带毛刷短绳" → 指挥者确认："是大象！"（损失 $\mathcal{L}$ 降低） 直推式学习与归纳式学习 直推式学习（Transductive Learning） 模型直接在固定的训练图上学习节点的表示或标签，结果只能应用于这张图中的节点，无法直接推广到新的、未见过的节点或图。 例如：DeepWalk ，它通过对固定图的随机游走生成节点序列来学习节点嵌入，因此只能得到训练图中已有节点的表示，一旦遇到新节点，需要重新训练或进行特殊处理。 注意：GCN是直推式的，因为它依赖于整个图的归一化邻接矩阵进行卷积操作，需要在固定图上训练。 归纳式学习（Inductive Learning） 模型学习的是一个映射函数或规则，可以将这种规则推广到未见过的新节点或新图上。这种方法能够处理动态变化的图结构或新的数据。 例如： 图神经网络的变体（GAT）都是归纳式的，因为它们在聚合邻居信息时学习一个共享的函数，该函数能够应用于任意新节点。 局部计算：GAT 的注意力机制仅在每个节点的局部邻域内计算，不依赖于全局图结构。 参数共享：模型中每一层的参数（如 $W$ 和注意力参数 $\mathbf{a}$）是共享的，可以直接应用于新的、未见过的图。 泛化到新节点：在许多推荐系统中，如果有新用户加入（新节点），我们需要给他们做个性化推荐，这就要求系统能够在不重新训练整个模型的情况下，为新用户生成表示（Embedding），并且完成推荐预测。 泛化到新图： 分子图预测。我们会用一批训练分子（每个分子是一张图）来训练一个 GNN 模型，让它学会如何根据图结构与原子特征来预测分子的某些性质（如毒性、溶解度、活性等）。训练完成后，让它在新的分子上做预测。 总结：直推式要求图的邻接矩阵不能变化，归纳式要求现有的邻接关系尽量不变化，支持少量节点新加入，直接复用已有W和a聚合特征。 GNN的优点： 参数共享 浅层嵌入(如Deepwalk)为每个节点单独学习一个向量，参数量随节点数线性增长。 GNN 使用统一的消息传递/聚合函数，所有节点共享同一套模型参数，大幅减少参数量。 归纳式学习 浅层方法通常无法直接处理训练时未见过的新节点。 GNN 能通过邻居特征和结构来生成新节点的表示，实现对新节点/新图的泛化。 利用节点特征 浅层方法多半只基于连接关系（图结构）。 GNN 可以直接整合节点的属性（文本、图像特征等），生成更具语义信息的嵌入。 更强的表达能力 GNN 通过多层聚合邻居信息，可学习到更丰富的高阶结构和特征交互，往往在多种任务上表现更优。
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zy123
3月21日
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